Представления C*-алгебр и конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала

Пусть $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра с единицей и пусть $\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — $*$-гомоморфизм [но не предполагайте, что $\pi (1) = 1$]. Положим $P_1 = \pi (1)$. Докажите, что $P_1$ — проекция и $\mathcal{H}_1 \equiv P_1 \mathcal{H}$ приводит $\pi (\mathcal{A})$. Если $\pi_1(a) = \pi (a) | \mathcal{H}_1$, докажите, что $\pi_1: \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H}_1)$ — представление.

Докажите, что следующее представление является циклическим, и найдите все циклические векторы: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\mathcal{H} = L^2(\mu )$, то $\pi : L^\infty (\mu ) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$, определённое как $\pi (\phi ) = M_\phi$ (оператор умножения), является представлением.

Докажите, что следующее представление является циклическим, и найдите все циклические векторы: если $X$ — компактное пространство и $\mu$ — положительная борелевская мера на $X$, то $\pi : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$, определённое как $\pi (f) = M_f$, является представлением.

Если $X$ компактно и $\mu$ — положительная мера на $X$, пусть $\pi_\mu : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$ — представление, определённое как $\pi_\mu (f) = M_f$. Если $\mu , \nu$ — положительные меры на $X$, докажите, что $\pi_\mu \oplus \pi_\nu$ циклично тогда и только тогда, когда $\mu \perp \nu$. Если $\mu \perp \nu$, то $\pi_\mu \oplus \pi_\nu$ эквивалентно $\pi_{\mu + \nu }$. Также, $\pi_\mu^{(n)}$ не циклично при $n \geq 2$.

Проверьте утверждения в следующем примере. Пусть $X$ — компактное пространство и пусть $\{ \mu_n\}$ — последовательность мер на $X$. Для каждого $n$ пусть $\pi_n : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu_n))$ определено как $\pi_n(f) = M_f$ на $L^2(\mu_n)$. Тогда $\pi = \bigoplus_n \pi_n$ является представлением. Если меры $\{ \mu_n\}$ попарно взаимно сингулярны, то $\pi$ эквивалентно представлению $f \mapsto M_f$ из $C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$, где $\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu_n / 2^n \left\| \mu_n\right\|$.

Если $\mathcal{A} = \mathbb {C} + \mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ и $\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — тождественное представление, докажите, что $\pi^{(\alpha )}$ является циклическим представлением.

Зафиксируем банахов предел LIM на $l^\infty (\mathbb {N})$ и пусть $\mathcal{H}$ — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\{ e_n\}$. Определим $f: \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathbb {C}$ формулой $f(T) = \operatorname {LIM}\{ \langle Te_n, e_n \rangle \}$. Докажите, что $f$ — состояние на $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Если $\pi_f$ — соответствующее циклическое представление, докажите, что $\ker \pi_f = \mathcal{B}_0(\mathcal{H})$. Следовательно, $\pi_f$ индуцирует циклическое представление $\mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, являющееся изометрическим. Сепарабельно ли $\mathcal{H}_f$?

Если $f$ — положительный линейный функционал на $\mathcal{A}$ и $\alpha \in (0, \infty )$, покажите, что $\pi_f$ и $\pi_{\alpha f}$ являются эквивалентными представлениями.

Если $a \in \mathcal{A}$, то $a \geq 0$ тогда и только тогда, когда $f(a) \geq 0$ для каждого состояния $f$.

Если $a \in \mathcal{A}$ и $a \neq 0$, то существует состояние $f$ на $\mathcal{A}$ такое, что $f(a) \neq 0$.

Если $\mathcal{A}$ — сепарабельная $C^*$-алгебра и $\{ f_n\}$ — счётное weak*-плотное подмножество $S_{\mathcal{A}}$ (пространства состояний $\mathcal{A}$), пусть $f = \sum_n 2^{-n} f_n$. Покажите, что $\pi_f$ является изометрией.