Элементарные свойства и примеры

Проверьте утверждения, сделанные в следующих примерах.

• Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то $\mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — $C^*$-алгебра, где для каждого $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ $A^* =$ сопряжённый к $A$ оператор.

• Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — $C^*$-подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, хотя $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ не имеет единицы, если $\mathcal{H}$ бесконечномерно.

• Если $X$ — компактное пространство, то $C(X)$ — $C^*$-алгебра, где $f^*(x) = \overline{f(x)}$ для $f$ из $C(X)$ и $x$ из $X$.

• Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, то $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ — $C^*$-алгебра, где инволюция определена как в предыдущем пункте.

• Если $X$ локально компактно, но не компактно, то $C_0(X)$ — $C^*$-алгебра без единицы.

Пусть $\mathcal{A} = \{ f \in C(\operatorname {cl} \mathbb {D}): f \text{ аналитична в } \mathbb {D}\}$, и для $f$ из $\mathcal{A}$ определим $f^*$ равенством $f^*(z) = \overline{f(\bar{z})}$. Покажите, что $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, $f^* \in \mathcal{A}$ при $f \in \mathcal{A}$ и $\left\| f^*\right\| = \left\| f\right\|$, но $\mathcal{A}$ не является $C^*$-алгеброй.

Если $\{ \mathcal{A}_i : i \in I\}$ — совокупность $C^*$-алгебр, покажите, что $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ и $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ — $C^*$-алгебры.

Пусть $X$ — локально компактное пространство и $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра. Если $C_b(X, \mathcal{A}) =$ совокупность ограниченных непрерывных функций из $X$ в $\mathcal{A}$, покажите, что $C_b(X, \mathcal{A})$ — $C^*$-алгебра. Пусть $C_0(X, \mathcal{A}) =$ все непрерывные функции $f: X \to \mathcal{A}$ такие, что для каждого $\varepsilon > 0$ множество $\{ x \in X : \left\| f(x)\right\| \geq \varepsilon \}$ компактно. Покажите, что $C_0(X, \mathcal{A})$ — $C^*$-алгебра.