Положительные элементы C*-алгебры

Докажите утверждение единственности в следующем предложении для случая, когда $\mathcal{A}$ абелева: если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$ (эрмитовы элементы $\mathcal{A}$), то существуют единственные положительные элементы $u, v$ в $\mathcal{A}$ такие, что $a = u - v$ и $uv = vu = 0$.

Докажите: если $a \in \mathcal{A}_+$ и $n \geq 1$, то существует единственный элемент $b$ в $\mathcal{A}_+$ такой, что $a = b^n$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(L^2(0,1))$ определён формулой $(Af)(t) = tf(t)$. Покажите, что $A \geq 0$, и найдите $A^{1/n}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $\phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, и пусть $M_\phi$ — оператор умножения на $L^2(X, \Omega , \mu )$, заданный формулой $M_\phi f = \phi f$. Покажите, что $M_\phi \geq 0$ тогда и только тогда, когда $\phi (x) \geq 0$ п.в.$[\mu ]$. Чему равен $M_\phi^{1/n}$? Если $M_\phi \in \operatorname {Re} \mathcal{B}(\mathcal{H})$, найдите положительную и отрицательную части $M_\phi$.

Найдите пример положительного оператора в гильбертовом пространстве, имеющего неэрмитов квадратный корень.

Если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$, покажите, что $\left|a\right| \equiv (a^2)^{1/2} = a_+ + a_-$, где $a_+$ и $a_-$ — положительная и отрицательная части $a$ (то есть единственные положительные элементы, для которых $a = a_+ - a_-$ и $a_+ a_- = a_- a_+ = 0$).

Если $a \in \mathcal{A}_+$, покажите, что $x^* a x \in \mathcal{A}_+$ для любого $x$ в $\mathcal{A}$.

Если $a, b \in \mathcal{A}$, $0 \leq a \leq b$, и $a$ обратим, то $b$ обратим и $b^{-1} \leq a^{-1}$.

Если $a, b \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$, $a \leq b$, и $ab = ba$, то $f(a) \leq f(b)$ для любой возрастающей непрерывной функции $f$ на $\mathbb {R}$.

Если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$ и $\left\| a\right\| \leq 1$, покажите, что $a$ является суммой двух унитарных элементов.

Если $\alpha > 0$, определим $f_\alpha : (-\alpha^{-1}, \infty ) \to \mathbb {R}$ формулой $f_\alpha (t) = t/(1 + \alpha t) = \alpha^{-1}[1 - (1 + \alpha t)^{-1}]$. Покажите:

Если $a, b \in \mathcal{A}_+$ и $a \leq b$, покажите, что $a^\beta \leq b^\beta$ при $0 \leq \beta \leq 1$. (Здесь $a^\beta = f(a)$, где $f(t) = t^\beta$.)

Приведите пример $C^*$-алгебры $\mathcal{A}$ и положительных элементов $a, b$ в $\mathcal{A}$ таких, что $a \leq b$, но $b^2 - a^2 \notin \mathcal{A}_+$.

Пусть $\mathcal{A} = \mathcal{B}(l^2)$, пусть $a =$ односторонний сдвиг на $l^2$, и пусть $b = a^*$. Покажите, что $\sigma (ab) \neq \sigma (ba)$.

Пусть $W \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$; покажите, что следующие утверждения эквивалентны: (a) $W$ — частичная изометрия (то есть оператор такой, что для $h$ из $(\ker W)^\perp$ выполняется $\left\| Wh\right\| = \left\| h\right\|$); (b) $W^*$ — частичная изометрия; (c) $W^*W$ — проекция; (d) $WW^*$ — проекция; (e) $WW^*W = W$; (f) $W^*WW^* = W^*$.

Если $W$ — частичная изометрия, покажите, что $W^*W$ — проекция на начальное подпространство $W$ (то есть на подпространство $(\ker W)^\perp$), а $WW^*$ — проекция на конечное подпространство $W$ (то есть на подпространство $\operatorname {ran} W$).

Пусть $W_1, W_2$ — частичные изометрии; определим $W_1 \precsim W_2$, что означает $W_1^* W_1 \leq W_2^* W_2$, $W_1 W_1^* \leq W_2 W_2^*$, и $W_2 h = W_1 h$ всякий раз, когда $h$ лежит в начальном подпространстве $W_1$. Покажите, что $\precsim$ является отношением частичного порядка на множестве частичных изометрий и что частичная изометрия $W$ является максимальным элементом этого порядка тогда и только тогда, когда либо $W$, либо $W^*$ является изометрией.

Используя терминологию предыдущего упражнения, покажите, что крайние точки шара $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ — это максимальные частичные изометрии. (См. упражнение V.7.10.)

Найдите полярное разложение каждого из следующих операторов:

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ таков, что $\ker A = (0)$ и $A \geq 0$; определим $S$ на $\mathcal{K} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} \oplus \cdots$ формулой $S(h_1, h_2, \dots ) = (0, Ah_1, Ah_2, \dots )$. Найдите полярное разложение $S$, $S = W \left|S\right|$, и покажите, что $S = \left|S\right| W$.

Докажите, что части полярного разложения нормального оператора коммутируют.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, докажите, что существует положительный оператор $P$ и частичная изометрия $W$ такие, что $A = PW$. Обсудите единственность $P$ и $W$.

Если $A$ нормален и обратим, докажите, что части полярного разложения $A$ принадлежат $C^*(A)$.

Приведите пример нормального оператора $A$ такого, что частичная изометрия в полярном разложении $A$ не принадлежит $C^*(A)$.

Докажите, что для произвольной $C^*$-алгебры $\mathcal{A}$ не обязательно верно, что $ab \in \mathcal{A}_+$, коль скоро $a$ и $b \in \mathcal{A}_+$. Если же, однако, $a, b \in \mathcal{A}_+$ и $ab = ba$, то $ab \in \mathcal{A}_+$.