Локально выпуклые пространства

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП, и пусть $\mathscr {U}$ — все открытые множества, содержащие $0$. Докажите следующее.

Покажите, что локально выпуклое пространство является топологическим векторным пространством.

Предположим, что $\mathscr {X}$ — ТВП, но не предполагайте, что $\mathscr {X}$ хаусдорфово.

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП. Покажите:

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $p_1, \dots , p_n$ — непрерывные полунормы, то $p_1 + \cdots + p_n$ и $\max_i(p_i(x))$ — непрерывные полунормы. Если $\left\{ p_i\right\}$ — семейство непрерывных полунорм, для которого существует непрерывная полунорма $q$ с $p_i \le q$ для всех $i$, то $x \mapsto \sup_i \left\{ p_i(x)\right\}$ задаёт непрерывную полунорму.

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $C(X)$ — все непрерывные функции из $X$ в $\mathbb {F}$. Если $K$ — компактное подмножество $X$, определим $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$. Тогда $\left\{ p_K : K \text{ компактно в } X\right\}$ — семейство полунорм, превращающее $C(X)$ в локально выпуклое пространство. Проверьте эти утверждения. Также покажите, что сеть $\left\{ f_i\right\}$ из $C(X)$ сходится к $f$ тогда и только тогда, когда $f_i \to f$ равномерно на компактных подмножествах $X$.

Пусть $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$, и пусть $H(G)$ — подмножество $C_{\mathbb {C}}(G)$, состоящее из всех аналитических функций на $G$. Для компактного $K$ из $G$ определим полунорму $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$, и наделим $H(G)$ локально выпуклой топологией, определяемой семейством $\left\{ p_K : K \text{ компактно в } G\right\}$. Покажите, что пространство $H(G)$ полно. (Каждая фундаментальная сеть сходится.)

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство. Для каждого $x^*$ из $\mathscr {X}^*$ определим $p_{x^*}(x) = \left|x^*(x)\right|$. Тогда $p_{x^*}$ — полунорма, и если $\mathscr {P} = \left\{ p_{x^*} : x^* \in \mathscr {X}^*\right\}$, то $\mathscr {P}$ превращает $\mathscr {X}$ в локально выпуклое пространство. Топология, определяемая на $\mathscr {X}$ этими полунормами, называется слабой топологией и часто обозначается $\sigma (\mathscr {X}, \mathscr {X}^*)$. Проверьте эти утверждения. Приведите базис системы окрестностей в $0$.

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство, и для каждого $x$ из $\mathscr {X}$ определим $p_x : \mathscr {X}^* \to [0, \infty )$ формулой $p_x(x^*) = \left|x^*(x)\right|$. Тогда $p_x$ — полунорма, и $\mathscr {P} = \left\{ p_x : x \in \mathscr {X}\right\}$ превращает $\mathscr {X}^*$ в локально выпуклое пространство. Топология, определяемая этими полунормами, называется слабой-* (или слабой звёздной, или wk*) топологией на $\mathscr {X}^*$. Она часто обозначается $\sigma (\mathscr {X}^*, \mathscr {X})$. Проверьте эти утверждения.

Докажите следующее.

Покажите, что если $A$ — выпуклое множество и $\alpha , \beta > 0$, то $\alpha A + \beta A = (\alpha + \beta )A$. Приведите пример невыпуклого множества $A$, для которого это неверно.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $A$ замкнуто, покажите, что $A$ выпукло тогда и только тогда, когда $\frac{1}{2}(x+y) \in A$ для всех $x$ и $y \in A$.

Пусть $s$ — пространство всех последовательностей скаляров. Таким образом, $s$ — это все функции $x : \mathbb {N} \to \mathbb {F}$. Определите сложение и умножение на скаляр обычным образом. Если $x, y \in s$, определим

Покажите, что $d$ — метрика на $s$ и что с этой топологией $s$ является ТВП. Также покажите, что $s$ полно.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, пусть $\mathscr {M}$ — пространство $\Omega$-измеримых функций, и отождествим две функции, совпадающие п.в.$[\mu ]$. Если $f, g \in \mathscr {M}$, определим

Тогда $d$ — метрика на $\mathscr {M}$, и $(\mathscr {M}, d)$ — полное ТВП. Существует ли связь между этим примером и пространством $s$ из упражнения 13?

Если $\mathscr {X}$ — ТВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $\operatorname {cl} A = \bigcap \left\{ A + V : 0 \in V \text{ и } V \text{ открыто}\right\}$.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $\mathscr {M}$ — замкнутое линейное подпространство, то $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ с фактор-топологией является ТВП. Если $p$ — полунорма на $\mathscr {X}$, определим $\bar{p}$ на $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ по формуле

Покажите, что $\bar{p}$ — полунорма на $\mathscr {X}/\mathscr {M}$. Покажите, что если $\mathscr {X}$ — ЛВП, то и $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ также.

Если $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — семейство ТВП, то $\mathscr {X} = \prod \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ с топологией произведения является ТВП. Если каждое $\mathscr {X}_i$ — ЛВП, то и $\mathscr {X}$ также. Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, обязано ли каждое $\mathscr {X}_i$ быть ЛВП?

Если $\mathscr {X}$ — конечномерное векторное пространство, а $\mathscr {T}_1, \mathscr {T}_2$ — две топологии на $\mathscr {X}$, каждая из которых превращает $\mathscr {X}$ в ТВП, то $\mathscr {T}_1 = \mathscr {T}_2$.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $\mathscr {M}$ — конечномерное линейное многообразие в $\mathscr {X}$, то $\mathscr {M}$ замкнуто, а $\mathscr {Y} + \mathscr {M}$ замкнуто для любого замкнутого подпространства $\mathscr {Y}$ пространства $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — произвольное бесконечномерное векторное пространство, и пусть $\mathscr {T}$ — совокупность всех подмножеств $W$ пространства $\mathscr {X}$ таких, что если $x \in W$, то существует выпуклое уравновешенное множество $U$ такое, что $x + U \subseteq W$ и $U \cap \mathscr {M}$ открыто в $\mathscr {M}$ для каждого конечномерного линейного многообразия $\mathscr {M}$ в $\mathscr {X}$. (Каждому такому $\mathscr {M}$ придаётся его обычная топология.) Покажите:

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$. Покажите, что $p_\phi$ — полунорма на $C_b(X)$. Пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Покажите, что $(C_b(X), \beta )$ — полное ЛВП. Топология $\beta$ называется строгой топологией.

Для $0 < p < 1$ пусть $l^p$ — множество всех последовательностей $x$ таких, что $\sum_{n=1}^{\infty } \left|x(n)\right|^p < \infty$. Определим $d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty } \left|x(n) - y(n)\right|^p$ (без извлечения корня $p$-й степени). Тогда $d$ — метрика, а $(l^p, d)$ — ТВП, не являющееся локально выпуклым.

Пусть $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — локально выпуклые пространства, и пусть $T : \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ — линейное преобразование. Покажите, что $T$ непрерывно тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы $p$ на $\mathscr {Y}$ отображение $p \circ T$ является непрерывной полунормой на $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — ЛВП, а $G$ — открытое связное подмножество $\mathscr {X}$. Покажите, что $G$ линейно связно.

Пусть $\left\{ p_1, p_2, \dots \right\}$ — последовательность полунорм на $\mathscr {X}$ такая, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } \left\{ x : p_n(x) = 0\right\} = (0)$. Для $x$ и $y$ из $\mathscr {X}$ определим

Тогда $d$ — метрика на $\mathscr {X}$, и топология на $\mathscr {X}$, задаваемая $d$, совпадает с топологией на $\mathscr {X}$, задаваемой полунормами $\left\{ p_1, p_2, \dots \right\}$. Таким образом, локально выпуклое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его топология определяется счётным семейством полунорм. Восполните недостающие детали в доказательстве этого утверждения: покажите, что $d$ — метрика и что она индуцирует ту же топологию, что и $\left\{ p_n\right\}$.

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $C(X)$ — множество всех непрерывных функций из $X$ в $\mathbb {F}$, топологизированное полунормами $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$ для компактных $K$ в $X$. Тогда $C(X)$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X = \bigcup_{n=1}^{\infty } K_n$, где каждое $K_n$ компактно, $K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, и если $K$ — любое компактное подмножество $X$, то $K \subseteq K_n$ для некоторого $n$. Проверьте это утверждение.

Пусть $X$ локально компактно, и пусть $C(X)$ такое же, как в упражнении 2 выше. Тогда $C(X)$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X$ $\sigma$-компактно (то есть $X$ является объединением последовательности компактных множеств). Кроме того, пространство $H(G)$ аналитических функций на открытом множестве $G \subseteq \mathbb {C}$, топологизированное равномерной сходимостью на компактных подмножествах, метризуемо. Проверьте эти утверждения.

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП; докажите следующее.

Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, покажите, что $\mathscr {X}$ метризуемо тогда и только тогда, когда $\mathscr {X}$ первого счётности. Равносильно ли это утверждению, что $\left\{ 0\right\}$ является $G_\delta$-множеством?

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и наделим $C_b(X)$ строгой топологией $\beta$: для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим полунорму $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$, и пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Покажите, что подмножество $C_b(X)$ $\beta$-ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме.

В обозначениях упражнения 6 покажите, что $(C_b(X), \beta )$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X$ компактно.

Докажите теорему об открытом отображении для пространств Фреше.

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $f : \mathscr {X} \to \mathbb {F}$ — линейный функционал, то следующие утверждения эквивалентны.

1. $f$ непрерывен.

2. $f$ непрерывен в $0$.

3. $f$ непрерывен в некоторой точке.

4. $\ker f$ замкнуто.

5. $x \mapsto \left|f(x)\right|$ — непрерывная полунорма. Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, а $\mathscr {P}$ — семейство полунорм, определяющее топологию на $\mathscr {X}$, то приведённые выше утверждения эквивалентны следующему:

6. Существуют $p_1, \dots , p_n$ из $\mathscr {P}$ и положительные скаляры $\alpha_1, \dots , \alpha_n$ такие, что $\left|f(x)\right| \le \sum_{k=1}^{n} \alpha_k p_k(x)$ для всех $x$.

Вспомним следующую конструкцию (предложение 3.2): если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $G$ — открытое выпуклое подмножество $\mathscr {X}$, содержащее начало координат, и

то $q$ — неотрицательный непрерывный сублинейный функционал, и $G = \left\{ x : q(x) < 1\right\}$.

Пусть теперь $p$ — сублинейный функционал, $G \equiv \left\{ x : p(x) < 1\right\}$, и определим сублинейный функционал $q$ для множества $G$, как указано выше. Покажите, что $q(x) = \max (p(x), 0)$ для всех $x$ из $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {M} \subseteq \mathscr {X}$, где $\mathscr {X}$ — ТВП, и покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\mathscr {M}$ — аффинная гиперплоскость;

2. существует $x_0$ из $\mathscr {M}$ такое, что $\mathscr {M} - x_0$ — гиперплоскость;

3. существует ненулевая линейная функция $f : \mathscr {X} \to \mathbb {F}$ и $\alpha$ из $\mathbb {F}$ такие, что $\mathscr {M} = \left\{ x \in \mathscr {X} : f(x) = \alpha \right\}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП. Покажите:

Если $\mathscr {X}$ — комплексное ТВП, а $f : \mathscr {X} \to \mathbb {C}$ — ненулевая непрерывная линейная функция, покажите, что $\mathscr {X} \setminus \ker f$ связно.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП. Докажите следующее.

Если $f : \mathscr {X} \to \mathbb {R}$ — непрерывный $\mathbb {R}$-линейный функционал, а $A$ — открытое выпуклое подмножество $\mathscr {X}$, то $f(A)$ — открытый интервал.

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то замкнутая линейная оболочка $A$ есть пересечение всех замкнутых гиперплоскостей, содержащих $A$.

Докажите следующее. Пусть $\mathscr {X}$ — комплексное ЛВП, а $A$ и $B$ — два непересекающихся замкнутых выпуклых подмножества $\mathscr {X}$. Если $B$ компактно, то существует непрерывный линейный функционал $f : \mathscr {X} \to \mathbb {C}$, $\alpha$ из $\mathbb {R}$ и $\varepsilon > 0$ такие, что для $a$ из $A$ и $b$ из $B$

Вспомним теорему 3.7: если $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП, а $A$ и $B$ — непересекающиеся выпуклые множества, причём $A$ открыто, то существует непрерывный линейный функционал $f : \mathscr {X} \to \mathbb {R}$ и вещественный скаляр $\alpha$ такие, что $f(a) < \alpha$ для всех $a$ из $A$ и $f(b) \ge \alpha$ для всех $b$ из $B$. Если $B$ также открыто, то $A$ и $B$ строго разделены.

Сформулируйте и докажите вариант этой теоремы для комплексного ТВП.

Вспомним следствие 3.11: если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $\overline{\operatorname {co}}(A)$ есть пересечение замкнутых полупространств, содержащих $A$.

Сформулируйте и докажите вариант этого следствия для комплексного ЛВП.

Вспомним следствие 3.12: если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то замкнутая линейная оболочка $A$ есть пересечение всех замкнутых гиперплоскостей, содержащих $A$.

Сформулируйте и докажите вариант этого следствия для комплексного ЛВП.

Для $0 < p < 1$ пусть $L^p(0,1)$ — совокупность классов эквивалентности измеримых функций $f : (0,1) \to \mathbb {R}$ таких, что

Для $f, g \in L^p(0,1)$ положим $d(f,g) = ((f-g))_p$; это трансляционно-инвариантная метрика на $L^p(0,1)$. Докажите, что $L^p(0,1)$, $0 < p < 1$, полно относительно $d$.

Приведите пример ТВП $\mathscr {X}$, не являющегося локально выпуклым, и подпространства $\mathscr {Y}$ пространства $\mathscr {X}$ такого, что существует непрерывный линейный функционал $f$ на $\mathscr {Y}$, не имеющий непрерывного продолжения на $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП, а $A$ и $B$ — непересекающиеся компактные выпуклые подмножества $\mathscr {X}$. Предположим, что $\mathscr {Y}$ — подпространство $\mathscr {X}$, а $f_0 : \mathscr {Y} \to \mathbb {R}$ — непрерывный линейный функционал такой, что $f_0(a) < 0$ для $a$ из $A \cap \mathscr {Y}$ и $f_0(b) > 0$ для $b$ из $B \cap \mathscr {Y}$. Покажите на примере, что не всегда возможно продолжить $f_0$ до непрерывного линейного функционала на $\mathscr {X}$ такого, что $f(a) < 0$ для $a$ из $A$ и $f(b) > 0$ для $b$ из $B$.

Пусть $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — семейство ЛВП, и наделим $\mathscr {X} = \prod \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ топологией произведения. Покажите, что $L \in \mathscr {X}^*$ тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество $F$, содержащееся в $I$, и существуют $x_j^*$ из $\mathscr {X}_j^*$ для $j$ из $F$ такие, что $L(x) = \sum_{j \in F} x_j^*(x(j))$ для каждого $x$ из $\mathscr {X}$.

Покажите, что пространство $s$ всех последовательностей скаляров (с метрикой $d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n} \left|x(n)-y(n)\right| / (1 + \left|x(n)-y(n)\right|)$) линейно гомеоморфно $C(\mathbb {N})$, и опишите $s^*$.

Вспомним предложение 4.2: $L \in H(\mathbb {D})^*$ тогда и только тогда, когда существует $r < 1$ и единственная функция $g$, аналитическая на $\mathbb {C}_\infty \setminus \bar{B}(0;r)$, с $g(\infty ) = 0$, такая, что

для каждой $f$ из $H(\mathbb {D})$, где $\gamma (t) = \rho e^{it}$, $0 \le t \le 2\pi$, и $r < \rho < 1$.

Покажите, что функция $g$, получаемая в этом предложении, единственна.

Покажите, что $L \in H(\mathbb {D})^*$ тогда и только тогда, когда существуют скаляры $b_0, b_1, \dots$ из $\mathbb {C}$ такие, что $\limsup \left|b_n\right|^{1/n} < 1$ и $L(f) = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} f^{(n)}(0) b_n$.

Если $G$ — кольцевая область, опишите $H(G)^*$.

(Бак.) Пусть $X$ локально компактно, и пусть $\beta$ — строгая топология на $C_b(X)$: для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим полунорму $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$, и пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Докажите следующие утверждения.

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $C(X)$. Покажите, что если для каждого компактного подмножества $K$ пространства $X$ множество $\mathscr {M} | K \equiv \left\{ f | K : f \in \mathscr {M}\right\}$ плотно в $C(K)$, то $\mathscr {M}$ плотно в $C(X)$.

Пусть $d \ge 1$, и пусть $\Omega$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^d$. Обозначим через $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ все функции $\phi : \Omega \to \mathbb {F}$ такие, что $\phi$ бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель в $\Omega$. (Носитель $\phi$ определяется как $\operatorname {spt} \phi \equiv \operatorname {cl}\left\{ x : \phi (x) \ne 0\right\}$.) Если $K$ — компактное подмножество $\Omega$, определим $\mathscr {D}(K) \equiv \left\{ \phi \in C_c^{(\infty )}(\Omega ) : \operatorname {spt} \phi \subseteq K\right\}$. Наделим $\mathscr {D}(K)$ топологией, определённой полунормами

где $k = (k_1, \dots , k_d)$, $k_j \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$, $\left|k\right| = k_1 + \cdots + k_d$, а $\phi^{(k)} = \partial^{\left|k\right|}\phi / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_d^{k_d}$. Тогда $\left(C_c^{(\infty )}(\Omega ), \left\{ \mathscr {D}(K) : K \text{ компактно в } \Omega \right\} \right)$ — индуктивная система (то есть $\mathscr {D}(K) \subseteq \mathscr {D}(K')$, когда $K \subseteq K'$, каждое такое включение непрерывно, а $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ является объединением пространств $\mathscr {D}(K)$). Пространство $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ часто обозначается $\mathscr {D}(\Omega )$. Проверьте эти утверждения.

Вспомним, что индуктивная система — это пара $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\} )$, где $\mathscr {X}$ — векторное пространство, $\mathscr {X}_i$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}$, наделённое топологией $\mathscr {T}_i$ такой, что $(\mathscr {X}_i, \mathscr {T}_i)$ — ЛВП, и, кроме того: $I$ — направленное множество и $\mathscr {X}_i \subseteq \mathscr {X}_j$, если $i \le j$; если $i \le j$ и $U_j \in \mathscr {T}_j$, то $U_j \cap \mathscr {X}_i \in \mathscr {T}_i$; и $\mathscr {X} = \bigcup \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$.

Если $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i, \mathscr {T}_i\right\} )$ — индуктивная система, пусть $\mathscr {B}$ — совокупность всех выпуклых уравновешенных множеств $V$ таких, что $V \cap \mathscr {X}_i \in \mathscr {T}_i$ для всех $i$. Пусть $\mathscr {T}$ — совокупность всех подмножеств $U$ пространства $\mathscr {X}$ таких, что для каждой $x_0$ из $U$ существует $V$ из $\mathscr {B}$, для которого $x_0 + V \subseteq U$. Тогда $(\mathscr {X}, \mathscr {T})$ — ЛВП (не обязательно хаусдорфово). Восполните недостающие детали доказательства этого утверждения: покажите, в частности, что $\mathscr {T}$ является топологией.

Докажите следующее. Пусть $(\mathscr {X}, \mathscr {T})$ — индуктивный предел индуктивной системы $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ (см. упражнение 2 для конструкции). Тогда

Пусть $\mathscr {X}$ — произвольное векторное пространство, и пусть $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — все конечномерные подпространства $\mathscr {X}$. Наделим каждое $\mathscr {X}_i$ единственной топологией, получаемой из его отождествления с евклидовым пространством. Тогда $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ — индуктивная система. Пусть $\mathscr {T}$ — топология индуктивного предела. Если $\mathscr {Y}$ — ЛВП, а $T : \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ — линейное преобразование, то $T$ $\mathscr {T}$-непрерывно. Проверьте эти утверждения.

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и пусть $\left\{ K_i : i \in I\right\}$ — совокупность всех компактных подмножеств $X$. Пусть $\mathscr {X}_i$ — все $f$ из $C(X)$ такие, что $\operatorname {spt} f \subseteq K_i$. Тогда $\bigcup_i \mathscr {X}_i = C_c(X)$ — непрерывные функции на $X$ с компактным носителем. Топологизируем каждое $\mathscr {X}_i$, наделяя его равномерной нормой. Тогда $(C_c(X), \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ — индуктивная система. Проверьте эти утверждения.