Банк задач по математике

Задача IV.2.1

Пусть $\left\{ p_1, p_2, \dots \right\}$ — последовательность полунорм на $\mathscr {X}$ такая, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } \left\{ x : p_n(x) = 0\right\} = (0)$ . Для $x$ и $y$ из $\mathscr {X}$ определим

d(x,y) = \sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1 + p_n(x-y)}.

Тогда $d$ — метрика на $\mathscr {X}$ , и топология на $\mathscr {X}$ , задаваемая $d$ , совпадает с топологией на $\mathscr {X}$ , задаваемой полунормами $\left\{ p_1, p_2, \dots \right\}$ . Таким образом, локально выпуклое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его топология определяется счётным семейством полунорм. Восполните недостающие детали в доказательстве этого утверждения: покажите, что $d$ — метрика и что она индуцирует ту же топологию, что и $\left\{ p_n\right\}$ .

?

Задача IV.2.2

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $C(X)$ — множество всех непрерывных функций из $X$ в $\mathbb {F}$ , топологизированное полунормами $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$ для компактных $K$ в $X$ . Тогда $C(X)$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X = \bigcup_{n=1}^{\infty } K_n$ , где каждое $K_n$ компактно, $K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$ , и если $K$ — любое компактное подмножество $X$ , то $K \subseteq K_n$ для некоторого $n$ . Проверьте это утверждение.

?

Задача IV.2.3

Пусть $X$ локально компактно, и пусть $C(X)$ такое же, как в упражнении 2 выше. Тогда $C(X)$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X$ $\sigma$ -компактно (то есть $X$ является объединением последовательности компактных множеств). Кроме того, пространство $H(G)$ аналитических функций на открытом множестве $G \subseteq \mathbb {C}$ , топологизированное равномерной сходимостью на компактных подмножествах, метризуемо. Проверьте эти утверждения.

?

Задача IV.2.4

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП; докажите следующее.

?

(a)

Если $B$ — ограниченное подмножество $\mathscr {X}$ , то и $\operatorname {cl} B$ также.

(b)

Конечное объединение ограниченных множеств ограничено.

(c)

Каждое компактное множество ограничено.

(d)

Если $B \subseteq \mathscr {X}$ , то $B$ ограничено тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $\left\{ x_n\right\}$ , содержащейся в $B$ , и для каждой $\left\{ \alpha_n\right\}$ из $c_0$ выполнено $\alpha_n x_n \to 0$ в $\mathscr {X}$ .

(e)

Если $\mathscr {Y}$ — ТВП, $T : \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ — непрерывное линейное преобразование, а $B$ — ограниченное подмножество $\mathscr {X}$ , то $T(B)$ — ограниченное подмножество $\mathscr {Y}$ .

(f)

Если $\mathscr {X}$ — ЛВП и $B \subseteq \mathscr {X}$ , то $B$ ограничено тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы $p$ выполнено $\sup \left\{ p(b) : b \in B\right\} < \infty$ .

(g)

Если $\mathscr {X}$ — нормированное пространство и $B \subseteq \mathscr {X}$ , то $B$ ограничено тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left\| b\right\| : b \in B\right\} < \infty$ .

(h)

Если $\mathscr {X}$ — пространство Фреше, то ограниченные множества имеют конечный диаметр, но не наоборот.

(i)

Сдвиг ограниченного множества ограничен.

Задача IV.2.5

Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, покажите, что $\mathscr {X}$ метризуемо тогда и только тогда, когда $\mathscr {X}$ первого счётности. Равносильно ли это утверждению, что $\left\{ 0\right\}$ является $G_\delta$ -множеством?

?

Задача IV.2.6

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и наделим $C_b(X)$ строгой топологией $\beta$ : для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим полунорму $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$ , и пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Покажите, что подмножество $C_b(X)$ $\beta$ -ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме.

?

Задача IV.2.7

В обозначениях упражнения 6 покажите, что $(C_b(X), \beta )$ метризуемо тогда и только тогда, когда $X$ компактно.

?

Задача IV.2.8

Докажите теорему об открытом отображении для пространств Фреше.

?

Метризуемые и нормируемые локально выпуклые пространства