Индуктивные пределы и пространство обобщённых функций

Пусть $d \ge 1$, и пусть $\Omega$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^d$. Обозначим через $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ все функции $\phi : \Omega \to \mathbb {F}$ такие, что $\phi$ бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель в $\Omega$. (Носитель $\phi$ определяется как $\operatorname {spt} \phi \equiv \operatorname {cl}\left\{ x : \phi (x) \ne 0\right\}$.) Если $K$ — компактное подмножество $\Omega$, определим $\mathscr {D}(K) \equiv \left\{ \phi \in C_c^{(\infty )}(\Omega ) : \operatorname {spt} \phi \subseteq K\right\}$. Наделим $\mathscr {D}(K)$ топологией, определённой полунормами

где $k = (k_1, \dots , k_d)$, $k_j \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$, $\left|k\right| = k_1 + \cdots + k_d$, а $\phi^{(k)} = \partial^{\left|k\right|}\phi / \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_d^{k_d}$. Тогда $\left(C_c^{(\infty )}(\Omega ), \left\{ \mathscr {D}(K) : K \text{ компактно в } \Omega \right\} \right)$ — индуктивная система (то есть $\mathscr {D}(K) \subseteq \mathscr {D}(K')$, когда $K \subseteq K'$, каждое такое включение непрерывно, а $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ является объединением пространств $\mathscr {D}(K)$). Пространство $C_c^{(\infty )}(\Omega )$ часто обозначается $\mathscr {D}(\Omega )$. Проверьте эти утверждения.

Вспомним, что индуктивная система — это пара $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\} )$, где $\mathscr {X}$ — векторное пространство, $\mathscr {X}_i$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}$, наделённое топологией $\mathscr {T}_i$ такой, что $(\mathscr {X}_i, \mathscr {T}_i)$ — ЛВП, и, кроме того: $I$ — направленное множество и $\mathscr {X}_i \subseteq \mathscr {X}_j$, если $i \le j$; если $i \le j$ и $U_j \in \mathscr {T}_j$, то $U_j \cap \mathscr {X}_i \in \mathscr {T}_i$; и $\mathscr {X} = \bigcup \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$.

Если $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i, \mathscr {T}_i\right\} )$ — индуктивная система, пусть $\mathscr {B}$ — совокупность всех выпуклых уравновешенных множеств $V$ таких, что $V \cap \mathscr {X}_i \in \mathscr {T}_i$ для всех $i$. Пусть $\mathscr {T}$ — совокупность всех подмножеств $U$ пространства $\mathscr {X}$ таких, что для каждой $x_0$ из $U$ существует $V$ из $\mathscr {B}$, для которого $x_0 + V \subseteq U$. Тогда $(\mathscr {X}, \mathscr {T})$ — ЛВП (не обязательно хаусдорфово). Восполните недостающие детали доказательства этого утверждения: покажите, в частности, что $\mathscr {T}$ является топологией.

Докажите следующее. Пусть $(\mathscr {X}, \mathscr {T})$ — индуктивный предел индуктивной системы $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ (см. упражнение 2 для конструкции). Тогда

Пусть $\mathscr {X}$ — произвольное векторное пространство, и пусть $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — все конечномерные подпространства $\mathscr {X}$. Наделим каждое $\mathscr {X}_i$ единственной топологией, получаемой из его отождествления с евклидовым пространством. Тогда $(\mathscr {X}, \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ — индуктивная система. Пусть $\mathscr {T}$ — топология индуктивного предела. Если $\mathscr {Y}$ — ЛВП, а $T : \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ — линейное преобразование, то $T$ $\mathscr {T}$-непрерывно. Проверьте эти утверждения.

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и пусть $\left\{ K_i : i \in I\right\}$ — совокупность всех компактных подмножеств $X$. Пусть $\mathscr {X}_i$ — все $f$ из $C(X)$ такие, что $\operatorname {spt} f \subseteq K_i$. Тогда $\bigcup_i \mathscr {X}_i = C_c(X)$ — непрерывные функции на $X$ с компактным носителем. Топологизируем каждое $\mathscr {X}_i$, наделяя его равномерной нормой. Тогда $(C_c(X), \left\{ \mathscr {X}_i\right\} )$ — индуктивная система. Проверьте эти утверждения.

Пусть $d \ge 1$ и положим $K_n = \left\{ x \in \mathbb {R}^d : \left\| x\right\| \le n\right\}$. Тогда $\left(\mathscr {D}(\mathbb {R}^d), \left\{ \mathscr {D}(K_n)\right\}_{n=1}^{\infty }\right)$ — индуктивная система. Поскольку векторное пространство вместе с совокупностью всех своих конечномерных подпространств (каждому из которых придана его евклидова топология) образует индуктивную систему, топология индуктивного предела которой обладает тем свойством, что любое линейное отображение в ЛВП непрерывно относительно неё (пример 5.9), и поскольку топология индуктивного предела не меняется при использовании конфинального подсемейства определяющих подпространств для её вычисления (предложение 5.8), топология индуктивного предела, определённая на $\mathscr {D}(\mathbb {R}^d)$ системой $\left\{ \mathscr {D}(K_n)\right\}$, совпадает с топологией индуктивного предела, определённой полной системой $\left\{ \mathscr {D}(K) : K \text{ компактно в } \mathbb {R}^d\right\}$ из упражнения 1. Проверьте это утверждение.

Пусть $X$ — локально компактное пространство, пусть $\left\{ K_i : i \in I\right\}$ — совокупность всех компактных подмножеств $X$, и наделим $C_c(X)$ (непрерывные функции на $X$ с компактным носителем) топологией индуктивного предела системы $\left\{ \mathscr {X}_i\right\}$, где $\mathscr {X}_i = \left\{ f \in C(X) : \operatorname {spt} f \subseteq K_i\right\}$ несёт равномерную норму (пример 5.10). Покажите, что если $X$ $\sigma$-компактно, то сопряжённое к $C_c(X)$ есть пространство всех расширенных $\mathbb {F}$-значных мер.

Пусть $X$ — локально компактное пространство. Как и в упражнении 7, наделим $C_c(X)$ топологией индуктивного предела, определённой подпространствами $\mathscr {X}_i = \left\{ f \in C(X) : \operatorname {spt} f \subseteq K_i\right\}$ (каждое со своей равномерной нормой), где $\left\{ K_i\right\}$ пробегает компактные подмножества $X$. Отдельно, $C(X)$ (все непрерывные функции из $X$ в $\mathbb {F}$) несёт локально выпуклую топологию равномерной сходимости на компактных подмножествах, определённую полунормами $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$ для компактных $K$ в $X$; ограниченная на подпространство $C_c(X)$, эта топология даёт вторую топологию на $C_c(X)$. Отличается ли топология индуктивного предела на $C_c(X)$ от этой топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах $X$?

Вспомним, что если $\mathscr {X}$ — ТВП и $\mathscr {Y} \le \mathscr {X}$, то $\mathscr {Y}$ называется топологически дополняемым в $\mathscr {X}$, если существует замкнутое линейное подпространство $\mathscr {Z}$ пространства $\mathscr {X}$ такое, что $\mathscr {Y} \cap \mathscr {Z} = (0)$, $\mathscr {Y} + \mathscr {Z} = \mathscr {X}$, а отображение $\mathscr {Y} \times \mathscr {Z} \to \mathscr {X}$, заданное формулой $(y,z) \mapsto y+z$, является гомеоморфизмом (равносильно, существует непрерывное линейное отображение $P : \mathscr {X} \to \mathscr {X}$ такое, что $P\mathscr {X} = \mathscr {Y}$ и $P^2 = P$).

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, а $\mathscr {Y} \le \mathscr {X}$ такое, что либо $\dim \mathscr {Y} < \infty$, либо $\dim \mathscr {X}/\mathscr {Y} < \infty$, то $\mathscr {Y}$ топологически дополняемо в $\mathscr {X}$.

Пусть $f$ — измеримая по Лебегу функция на $\Omega$ (открытом подмножестве $\mathbb {R}^d$, $d \ge 1$), локально интегрируемая (то есть $\int_K \left|f\right| \, d\lambda < \infty$ для каждого компактного подмножества $K$ пространства $\Omega$, где $\lambda$ — $d$-мерная мера Лебега). Если $L_f : \mathscr {D}(\Omega ) \to \mathbb {F}$ определено формулой $L_f(\phi ) = \int f\phi \, d\lambda$, то $L_f$ является обобщённой функцией (то есть непрерывным линейным функционалом на $\mathscr {D}(\Omega )$). Проверьте это утверждение.

Для оставшихся упражнений $\Omega$ всегда является открытым подмножеством $\mathbb {R}^d$, $d \ge 1$. Если $\mu$ — мера на $\Omega$, покажите, что $\phi \mapsto \int \phi \, d\mu$ является обобщённой функцией [на] $\Omega$.

Пусть $f : \Omega \to \mathbb {F}$ — функция с непрерывными частными производными, и пусть $L_f : \mathscr {D}(\Omega ) \to \mathbb {F}$ — обобщённая функция $L_f(\phi ) = \int f \phi \, d\lambda$ (пример 5.20). Покажите, что для каждой $\phi$ из $\mathscr {D}(\Omega )$ и $1 \le j \le d$ выполнено $L_f(\partial \phi / \partial x_j) = -L_g(\phi )$, где $g = \partial f / \partial x_j$.

Упражнение 12 мотивирует следующее определение. Если $L$ — обобщённая функция на $\Omega$, определим $\partial L / \partial x_j : \mathscr {D}(\Omega ) \to \mathbb {F}$ формулой $\partial L / \partial x_j(\phi ) = -L(\partial \phi / \partial x_j)$ для всех $\phi$ из $\mathscr {D}(\Omega )$. Покажите, что $\partial L / \partial x_j$ является обобщённой функцией.

Используя тот факт, что локально интегрируемая функция $f$ на $\mathbb {R}$ задаёт обобщённую функцию $L_f(\phi ) = \int f\phi \, d\lambda$ (пример 5.20), и что производная обобщённой функции $L$ есть обобщённая функция $\partial L/\partial x(\phi ) = -L(\phi ')$ (упражнение 13), мы вправе говорить о производной любой локально интегрируемой функции как об обобщённой функции. По упражнению 11 мы можем дифференцировать меры. Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — характеристическая функция $[0, \infty )$; покажите, что её производная как обобщённой функции есть $\delta_0$ — единичная точечная масса в $0$. [То есть $\delta_0$ — мера такая, что $\delta_0(\Delta ) = 1$, если $0 \in \Delta$, и $\delta_0(\Delta ) = 0$, если $0 \notin \Delta$.]

Пусть $f$ — абсолютно непрерывная функция на $\mathbb {R}$; покажите, что $(L_f)' = L_{f'}$, где $L_f(\phi ) = \int f\phi \, d\lambda$ — обобщённая функция, задаваемая функцией $f$ (пример 5.20), а $(L_f)'(\phi ) = -L_f(\phi ')$ — её обобщённая производная (упражнение 13).

Пусть $f$ — непрерывная слева неубывающая функция на $\mathbb {R}$; покажите, что $(L_f)'$ есть обобщённая функция, задаваемая мерой $\mu$ такой, что $\mu [a,b] = f(b) - f(a)$ для всех $a < b$, где $L_f(\phi ) = \int f\phi \, d\lambda$ — обобщённая функция, задаваемая функцией $f$ (пример 5.20), а $(L_f)'(\phi ) = -L_f(\phi ')$ — её обобщённая производная (упражнение 13).

Пусть $f$ — функция класса $C^\infty$ на $\Omega$, и пусть $L$ — обобщённая функция на $\mathscr {D}(\Omega )$. Покажите, что $M(\phi ) \equiv L(\phi f)$, $\phi$ из $\mathscr {D}(\Omega )$, является обобщённой функцией. Сформулируйте и докажите правило Лейбница для нахождения производной $M$.