Некоторые геометрические следствия теоремы Хана–Банаха

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $f : \mathscr {X} \to \mathbb {F}$ — линейный функционал, то следующие утверждения эквивалентны.

1. $f$ непрерывен.

2. $f$ непрерывен в $0$.

3. $f$ непрерывен в некоторой точке.

4. $\ker f$ замкнуто.

5. $x \mapsto \left|f(x)\right|$ — непрерывная полунорма. Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, а $\mathscr {P}$ — семейство полунорм, определяющее топологию на $\mathscr {X}$, то приведённые выше утверждения эквивалентны следующему:

6. Существуют $p_1, \dots , p_n$ из $\mathscr {P}$ и положительные скаляры $\alpha_1, \dots , \alpha_n$ такие, что $\left|f(x)\right| \le \sum_{k=1}^{n} \alpha_k p_k(x)$ для всех $x$.

Вспомним следующую конструкцию (предложение 3.2): если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $G$ — открытое выпуклое подмножество $\mathscr {X}$, содержащее начало координат, и

то $q$ — неотрицательный непрерывный сублинейный функционал, и $G = \left\{ x : q(x) < 1\right\}$.

Пусть теперь $p$ — сублинейный функционал, $G \equiv \left\{ x : p(x) < 1\right\}$, и определим сублинейный функционал $q$ для множества $G$, как указано выше. Покажите, что $q(x) = \max (p(x), 0)$ для всех $x$ из $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {M} \subseteq \mathscr {X}$, где $\mathscr {X}$ — ТВП, и покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\mathscr {M}$ — аффинная гиперплоскость;

2. существует $x_0$ из $\mathscr {M}$ такое, что $\mathscr {M} - x_0$ — гиперплоскость;

3. существует ненулевая линейная функция $f : \mathscr {X} \to \mathbb {F}$ и $\alpha$ из $\mathbb {F}$ такие, что $\mathscr {M} = \left\{ x \in \mathscr {X} : f(x) = \alpha \right\}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП. Покажите:

Если $\mathscr {X}$ — комплексное ТВП, а $f : \mathscr {X} \to \mathbb {C}$ — ненулевая непрерывная линейная функция, покажите, что $\mathscr {X} \setminus \ker f$ связно.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП. Докажите следующее.

Если $f : \mathscr {X} \to \mathbb {R}$ — непрерывный $\mathbb {R}$-линейный функционал, а $A$ — открытое выпуклое подмножество $\mathscr {X}$, то $f(A)$ — открытый интервал.

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то замкнутая линейная оболочка $A$ есть пересечение всех замкнутых гиперплоскостей, содержащих $A$.

Докажите следующее. Пусть $\mathscr {X}$ — комплексное ЛВП, а $A$ и $B$ — два непересекающихся замкнутых выпуклых подмножества $\mathscr {X}$. Если $B$ компактно, то существует непрерывный линейный функционал $f : \mathscr {X} \to \mathbb {C}$, $\alpha$ из $\mathbb {R}$ и $\varepsilon > 0$ такие, что для $a$ из $A$ и $b$ из $B$

Вспомним теорему 3.7: если $\mathscr {X}$ — вещественное ТВП, а $A$ и $B$ — непересекающиеся выпуклые множества, причём $A$ открыто, то существует непрерывный линейный функционал $f : \mathscr {X} \to \mathbb {R}$ и вещественный скаляр $\alpha$ такие, что $f(a) < \alpha$ для всех $a$ из $A$ и $f(b) \ge \alpha$ для всех $b$ из $B$. Если $B$ также открыто, то $A$ и $B$ строго разделены.

Сформулируйте и докажите вариант этой теоремы для комплексного ТВП.

Вспомним следствие 3.11: если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $\overline{\operatorname {co}}(A)$ есть пересечение замкнутых полупространств, содержащих $A$.

Сформулируйте и докажите вариант этого следствия для комплексного ЛВП.

Вспомним следствие 3.12: если $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то замкнутая линейная оболочка $A$ есть пересечение всех замкнутых гиперплоскостей, содержащих $A$.

Сформулируйте и докажите вариант этого следствия для комплексного ЛВП.

Для $0 < p < 1$ пусть $L^p(0,1)$ — совокупность классов эквивалентности измеримых функций $f : (0,1) \to \mathbb {R}$ таких, что

Для $f, g \in L^p(0,1)$ положим $d(f,g) = ((f-g))_p$; это трансляционно-инвариантная метрика на $L^p(0,1)$. Докажите, что $L^p(0,1)$, $0 < p < 1$, полно относительно $d$.

Приведите пример ТВП $\mathscr {X}$, не являющегося локально выпуклым, и подпространства $\mathscr {Y}$ пространства $\mathscr {X}$ такого, что существует непрерывный линейный функционал $f$ на $\mathscr {Y}$, не имеющий непрерывного продолжения на $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — вещественное ЛВП, а $A$ и $B$ — непересекающиеся компактные выпуклые подмножества $\mathscr {X}$. Предположим, что $\mathscr {Y}$ — подпространство $\mathscr {X}$, а $f_0 : \mathscr {Y} \to \mathbb {R}$ — непрерывный линейный функционал такой, что $f_0(a) < 0$ для $a$ из $A \cap \mathscr {Y}$ и $f_0(b) > 0$ для $b$ из $B \cap \mathscr {Y}$. Покажите на примере, что не всегда возможно продолжить $f_0$ до непрерывного линейного функционала на $\mathscr {X}$ такого, что $f(a) < 0$ для $a$ из $A$ и $f(b) > 0$ для $b$ из $B$.