Некоторые примеры двойственного пространства к локально выпуклому пространству

Пусть $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — семейство ЛВП, и наделим $\mathscr {X} = \prod \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ топологией произведения. Покажите, что $L \in \mathscr {X}^*$ тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество $F$, содержащееся в $I$, и существуют $x_j^*$ из $\mathscr {X}_j^*$ для $j$ из $F$ такие, что $L(x) = \sum_{j \in F} x_j^*(x(j))$ для каждого $x$ из $\mathscr {X}$.

Покажите, что пространство $s$ всех последовательностей скаляров (с метрикой $d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n} \left|x(n)-y(n)\right| / (1 + \left|x(n)-y(n)\right|)$) линейно гомеоморфно $C(\mathbb {N})$, и опишите $s^*$.

Вспомним предложение 4.2: $L \in H(\mathbb {D})^*$ тогда и только тогда, когда существует $r < 1$ и единственная функция $g$, аналитическая на $\mathbb {C}_\infty \setminus \bar{B}(0;r)$, с $g(\infty ) = 0$, такая, что

для каждой $f$ из $H(\mathbb {D})$, где $\gamma (t) = \rho e^{it}$, $0 \le t \le 2\pi$, и $r < \rho < 1$.

Покажите, что функция $g$, получаемая в этом предложении, единственна.

Покажите, что $L \in H(\mathbb {D})^*$ тогда и только тогда, когда существуют скаляры $b_0, b_1, \dots$ из $\mathbb {C}$ такие, что $\limsup \left|b_n\right|^{1/n} < 1$ и $L(f) = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} f^{(n)}(0) b_n$.

Если $G$ — кольцевая область, опишите $H(G)^*$.

(Бак.) Пусть $X$ локально компактно, и пусть $\beta$ — строгая топология на $C_b(X)$: для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим полунорму $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$, и пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Докажите следующие утверждения.

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $C(X)$. Покажите, что если для каждого компактного подмножества $K$ пространства $X$ множество $\mathscr {M} | K \equiv \left\{ f | K : f \in \mathscr {M}\right\}$ плотно в $C(K)$, то $\mathscr {M}$ плотно в $C(X)$.