Элементарные свойства и примеры

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП, и пусть $\mathscr {U}$ — все открытые множества, содержащие $0$. Докажите следующее.

Покажите, что локально выпуклое пространство является топологическим векторным пространством.

Предположим, что $\mathscr {X}$ — ТВП, но не предполагайте, что $\mathscr {X}$ хаусдорфово.

Пусть $\mathscr {X}$ — ТВП. Покажите:

Докажите следующее. Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $p_1, \dots , p_n$ — непрерывные полунормы, то $p_1 + \cdots + p_n$ и $\max_i(p_i(x))$ — непрерывные полунормы. Если $\left\{ p_i\right\}$ — семейство непрерывных полунорм, для которого существует непрерывная полунорма $q$ с $p_i \le q$ для всех $i$, то $x \mapsto \sup_i \left\{ p_i(x)\right\}$ задаёт непрерывную полунорму.

Пусть $X$ вполне регулярно, и пусть $C(X)$ — все непрерывные функции из $X$ в $\mathbb {F}$. Если $K$ — компактное подмножество $X$, определим $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$. Тогда $\left\{ p_K : K \text{ компактно в } X\right\}$ — семейство полунорм, превращающее $C(X)$ в локально выпуклое пространство. Проверьте эти утверждения. Также покажите, что сеть $\left\{ f_i\right\}$ из $C(X)$ сходится к $f$ тогда и только тогда, когда $f_i \to f$ равномерно на компактных подмножествах $X$.

Пусть $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$, и пусть $H(G)$ — подмножество $C_{\mathbb {C}}(G)$, состоящее из всех аналитических функций на $G$. Для компактного $K$ из $G$ определим полунорму $p_K(f) = \sup \left\{ \left|f(x)\right| : x \in K\right\}$, и наделим $H(G)$ локально выпуклой топологией, определяемой семейством $\left\{ p_K : K \text{ компактно в } G\right\}$. Покажите, что пространство $H(G)$ полно. (Каждая фундаментальная сеть сходится.)

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство. Для каждого $x^*$ из $\mathscr {X}^*$ определим $p_{x^*}(x) = \left|x^*(x)\right|$. Тогда $p_{x^*}$ — полунорма, и если $\mathscr {P} = \left\{ p_{x^*} : x^* \in \mathscr {X}^*\right\}$, то $\mathscr {P}$ превращает $\mathscr {X}$ в локально выпуклое пространство. Топология, определяемая на $\mathscr {X}$ этими полунормами, называется слабой топологией и часто обозначается $\sigma (\mathscr {X}, \mathscr {X}^*)$. Проверьте эти утверждения. Приведите базис системы окрестностей в $0$.

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство, и для каждого $x$ из $\mathscr {X}$ определим $p_x : \mathscr {X}^* \to [0, \infty )$ формулой $p_x(x^*) = \left|x^*(x)\right|$. Тогда $p_x$ — полунорма, и $\mathscr {P} = \left\{ p_x : x \in \mathscr {X}\right\}$ превращает $\mathscr {X}^*$ в локально выпуклое пространство. Топология, определяемая этими полунормами, называется слабой-* (или слабой звёздной, или wk*) топологией на $\mathscr {X}^*$. Она часто обозначается $\sigma (\mathscr {X}^*, \mathscr {X})$. Проверьте эти утверждения.

Докажите следующее.

Покажите, что если $A$ — выпуклое множество и $\alpha , \beta > 0$, то $\alpha A + \beta A = (\alpha + \beta )A$. Приведите пример невыпуклого множества $A$, для которого это неверно.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $A$ замкнуто, покажите, что $A$ выпукло тогда и только тогда, когда $\frac{1}{2}(x+y) \in A$ для всех $x$ и $y \in A$.

Пусть $s$ — пространство всех последовательностей скаляров. Таким образом, $s$ — это все функции $x : \mathbb {N} \to \mathbb {F}$. Определите сложение и умножение на скаляр обычным образом. Если $x, y \in s$, определим

Покажите, что $d$ — метрика на $s$ и что с этой топологией $s$ является ТВП. Также покажите, что $s$ полно.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — конечное пространство с мерой, пусть $\mathscr {M}$ — пространство $\Omega$-измеримых функций, и отождествим две функции, совпадающие п.в.$[\mu ]$. Если $f, g \in \mathscr {M}$, определим

Тогда $d$ — метрика на $\mathscr {M}$, и $(\mathscr {M}, d)$ — полное ТВП. Существует ли связь между этим примером и пространством $s$ из упражнения 13?

Если $\mathscr {X}$ — ТВП и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $\operatorname {cl} A = \bigcap \left\{ A + V : 0 \in V \text{ и } V \text{ открыто}\right\}$.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $\mathscr {M}$ — замкнутое линейное подпространство, то $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ с фактор-топологией является ТВП. Если $p$ — полунорма на $\mathscr {X}$, определим $\bar{p}$ на $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ по формуле

Покажите, что $\bar{p}$ — полунорма на $\mathscr {X}/\mathscr {M}$. Покажите, что если $\mathscr {X}$ — ЛВП, то и $\mathscr {X}/\mathscr {M}$ также.

Если $\left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ — семейство ТВП, то $\mathscr {X} = \prod \left\{ \mathscr {X}_i : i \in I\right\}$ с топологией произведения является ТВП. Если каждое $\mathscr {X}_i$ — ЛВП, то и $\mathscr {X}$ также. Если $\mathscr {X}$ — ЛВП, обязано ли каждое $\mathscr {X}_i$ быть ЛВП?

Если $\mathscr {X}$ — конечномерное векторное пространство, а $\mathscr {T}_1, \mathscr {T}_2$ — две топологии на $\mathscr {X}$, каждая из которых превращает $\mathscr {X}$ в ТВП, то $\mathscr {T}_1 = \mathscr {T}_2$.

Если $\mathscr {X}$ — ТВП, а $\mathscr {M}$ — конечномерное линейное многообразие в $\mathscr {X}$, то $\mathscr {M}$ замкнуто, а $\mathscr {Y} + \mathscr {M}$ замкнуто для любого замкнутого подпространства $\mathscr {Y}$ пространства $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — произвольное бесконечномерное векторное пространство, и пусть $\mathscr {T}$ — совокупность всех подмножеств $W$ пространства $\mathscr {X}$ таких, что если $x \in W$, то существует выпуклое уравновешенное множество $U$ такое, что $x + U \subseteq W$ и $U \cap \mathscr {M}$ открыто в $\mathscr {M}$ для каждого конечномерного линейного многообразия $\mathscr {M}$ в $\mathscr {X}$. (Каждому такому $\mathscr {M}$ придаётся его обычная топология.) Покажите:

Пусть $X$ — локально компактное пространство, и для каждого $\phi$ из $C_0(X)$ определим $p_\phi (f) = \left\| \phi f\right\|_\infty$ для $f$ из $C_b(X)$. Покажите, что $p_\phi$ — полунорма на $C_b(X)$. Пусть $\beta$ — топология, определённая этими полунормами. Покажите, что $(C_b(X), \beta )$ — полное ЛВП. Топология $\beta$ называется строгой топологией.

Для $0 < p < 1$ пусть $l^p$ — множество всех последовательностей $x$ таких, что $\sum_{n=1}^{\infty } \left|x(n)\right|^p < \infty$. Определим $d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty } \left|x(n) - y(n)\right|^p$ (без извлечения корня $p$-й степени). Тогда $d$ — метрика, а $(l^p, d)$ — ТВП, не являющееся локально выпуклым.

Пусть $\mathscr {X}$ и $\mathscr {Y}$ — локально выпуклые пространства, и пусть $T : \mathscr {X} \to \mathscr {Y}$ — линейное преобразование. Покажите, что $T$ непрерывно тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы $p$ на $\mathscr {Y}$ отображение $p \circ T$ является непрерывной полунормой на $\mathscr {X}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — ЛВП, а $G$ — открытое связное подмножество $\mathscr {X}$. Покажите, что $G$ линейно связно.