Дополнительные темы

Совместное распределение $(X, Y)$ задано как $\mathbb {P}\left(X=0, Y=0\right) = \mathbb {P}\left(X=0, Y=1\right) = \mathbb {P}\left(X=1, Y=1\right) = 1/3$.

Покажите, что функция

не является совместной функцией распределения.

Рассмотрим семью с двумя детьми. Пусть $X_{n} = 1$, если $n$-й ребёнок — мальчик, для $n = 1, 2$, и $X_{3} = 1$, если мальчик только один, в противном случае $X_{i} = 0$ ($i = 1, 2, 3$). Покажите, что $X_{i}$ попарно независимы, но не полностью независимы.

$X$ и $Y$ имеют совместную плотность

Найдите

$k$-мерное гипергеометрическое распределение имеет функцию вероятности

где

Покажите, что условное распределение $X_{k}$ при заданных $X_{1}, \ldots , X_{k-1}$ является гипергеометрическим.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k}$ распределены согласно мультиномиальному распределению, то условное распределение $X_{1}$ при заданных $X_{2}=n_{2}, \ldots , X_{k}=n_{k}$ является биномиальным с параметрами $n-(n_{2}+\cdots +n_{k})$ и $p_{1}/(p_{1}+p_{k+1})$.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k}$ имеют распределение Дирихле, покажите, что условное распределение $X_{k}/S_{k}$ при $X_{i}=x_{i}$, где $S_{k} = 1-(X_{1}+\cdots +X_{k-1})$, есть $\beta (n_{k}, n_{k+1})$.

Пусть $X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ равномерно распределена в подмножестве положительного октанта, заданном условиями $x_{1} \geq 0$, $x_{2} \geq 0$, $x_{3} \geq 0$, $x_{1}+x_{2}+x_{3} \leq c$. Найдите:

Двумерное нормальное распределение имеет плотность

Напомним, что $n$-мерное (невырожденное) нормальное распределение $N(\mu , \Sigma )$ имеет плотность

где $\mu = (\mu_{1}, \ldots , \mu_{n})' = \mathbb {E}\left[X\right]$ обозначает вектор средних, а $\Sigma$ обозначает (положительно определённую) ковариационную матрицу нормального случайного вектора $X$.

Если $(X, Y)$ равномерно распределена в треугольнике $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \leq 2$, найдите:

Кость брошена 12 раз.

Покажите, что наиболее вероятное значение $(n_{1}^{0}, n_{2}^{0}, \ldots , n_{k+1}^{0})$ мультиномиального распределения удовлетворяет соотношениям

Если число испытаний $n$ велико, а $p_{i}$ малы, так что $np_{i} = \lambda_{i}$ умеренны, покажите, что мультиномиальное распределение может быть аппроксимировано так называемым многомерным распределением Пуассона

Дано, что плотность $X$ и $Y$ равна

найдите:

Найдите функцию плотности $f(x, y)$ равномерного распределения в круге $x^{2}+y^{2} \leq 1$. Найдите маргинальные распределения $X$ и $Y$. Являются ли переменные $X$ и $Y$ независимыми?

Совместная плотность переменных $X, Y, Z$ равна

Найдите $\mathbb {P}\left(X < Y < Z\right)$.

Для каждой из следующих плотностей $f(x, y)$ найдите $F(x, y)$, $F_{X}(x)$, $F_{Y}(y)$, $f_{X}(x)$, $f_{Y}(y)$, $f_{X}(x \mid Y=y)$, $f_{Y}(y \mid X=x)$.

Совместная функция вероятности $p(x_{i}, y_{j})$ величин $X, Y$ задана следующей таблицей:

Покажите, что дискретные переменные $X$ и $Y$ с совместной функцией вероятности $p_{ij} = \mathbb {P}\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)$ независимы тогда и только тогда, когда матрица вероятностей $P = (p_{ij})$ имеет ранг 1.

Покажите, что две ортогональные (некоррелированные) переменные, каждая из которых принимает два значения, независимы.

Найдите производящую функцию вероятностей и, следовательно, среднее и дисперсию следующих распределений: (a) биномиального, (b) Пуассона, (c) геометрического, (d) Паскаля. Кроме того, выведите соответствующие производящие функции моментов и характеристические функции.

Пусть $X_{1} = X_{2} = X$, где $X$ имеет плотность Коши

Докажите, что

в то время как $X_{1}$, $X_{2}$ не являются независимыми.

Из производящей функции вероятностей $P_{X}(t)$ величины $X = 0, 1, 2, \ldots$ найдите производящую функцию вероятностей $Y = 3X+2$.

Используя производящую функцию вероятностей, докажите, что случайная величина $S_{N}$ из формулы (6.3) --- $S_{N} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$, где случайная величина $N = 0, 1, \ldots$, а $X_{i}$ полностью независимы и одинаково распределены --- имеет дисперсию, заданную формулой $\operatorname {Var}\left[S_{N}\right] = \mathbb {E}\left[N\right]\operatorname {Var}\left[X\right] + \operatorname {Var}\left[N\right]\mathbb {E}\left[X\right]^{2}$.

Женщина продолжает рожать детей до тех пор, пока не родит мальчика! Предположим, что вероятность рождения светловолосого ребёнка равна $p$; найдите вероятность того, что у женщины будет $k$ светловолосых детей. (Предположим, что цвет волос не зависит от пола.)

Число $N$ посетителей магазина имеет распределение Пуассона. В среднем 150 женщин посещают магазин ежедневно. Из них $100p_{1}\%$ покупают мини, $100p_{2}\%$ покупают миди, $100p_{3}\%$ покупают макси, а остальные ничего не покупают. (Ни одна женщина не покупает больше одного платья!!) Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — соответствующие числа купленных за день мини, миди и макси. Найдите совместную функцию вероятности $X_{1}, X_{2}, X_{3}$. Являются ли они независимыми?

Пусть $X$, $Y$ независимы с плотностями

Докажите, что $\varphi_{X}(t) = \varphi_{Y}(t)$ при $|t| \leq \min \left\{ 1/a, 1/b, 1/c\right\}$, $2c = a+b$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение со средним $\mu$ и дисперсией $1$. Положим

Кроме того, пусть случайная величина $T = aY_{v}$, где $a, v$ — подходящие константы, а $Y_{v}$ подчиняется $\chi^{2}$-распределению с $v$ степенями свободы. Используя характеристические функции, найдите константы $a$ и $v$ так, чтобы случайные величины $S_{n}$ и $T$ имели одинаковые средние и одинаковые дисперсии.

Докажите, что $S_{N}$ из формулы (6.3) --- $S_{N} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$, где случайная величина $N = 0, 1, \ldots$, а $X_{i}$ полностью независимы и одинаково распределены --- имеет характеристическую функцию

Докажите, что $\varphi (t) = \exp [\lambda (e^{-|t|}-1)]$ является характеристической функцией распределения Пуассона, обобщённого (составного) распределением Коши. Затем, используя формулу обращения, найдите его плотность.

Пусть $Z_{n}$ — случайная величина, подчиняющаяся биномиальному распределению с параметрами $n$ и $p = \lambda /n$ $(\lambda > 0)$. Кроме того, пусть случайная величина $Z$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Докажите, что $\lim_{n\to \infty } \varphi_{Z_{n}}(t) = \varphi_{Z}(t)$ $(t \in R)$, где $\varphi_{Z_{n}}(t)$ и $\varphi_{Z}(t)$ — характеристические функции $Z_{n}$ и $Z$ соответственно. Затем выведите аппроксимацию биномиального распределения распределением Пуассона.

Вычислите характеристическую функцию гамма-распределения с плотностью

Затем выведите характеристическую функцию $\chi_{n}^{2}$.

При $n$-м подбрасывании монеты игрок получает или платит $2^{-n}$ драхмы в зависимости от того, выпал орёл или решка. Пусть $Y_{n}$ — выигрыш игрока после $n$ подбрасываний. Покажите, что распределение $Y_{n}$ при $n\to \infty$ стремится к равномерному распределению на интервале $(-1,1)$. Сначала найдите характеристическую функцию $Y_{n}$.

$X$ имеет функцию распределения $F(x)$, являющуюся смесью двух функций распределения $F_{1}, F_{2}$ следующего вида:

Если $F_{1}$ есть $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$, а $F_{2}$ есть $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$, найти характеристическую функцию $F$, а затем $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

Найти вторую характеристическую функцию (производящую функцию кумулянтов) $\psi (t)$ показательного распределения с плотностью

и доказать, что кумулянт порядка $r$, $\kappa_{r}$, задаётся формулой

(Продолжение задачи 205.) Пусть $Y$ — дискретная случайная величина, определённая следующим образом. Для $h > 0$ и $k = 0, 1, 2, \ldots$,

Найти производящую функцию вероятностей $Y$, а затем показать, что $\mathbb {E}\left[X\right] > \mathbb {E}\left[Y\right]$, $\operatorname {Var}\left[X\right] < \operatorname {Var}\left[Y\right]$.

Пусть плотность $f(x,y) = g(x^{2}+y^{2})$, т.е. она обладает круговой симметрией относительно начала координат. Показать, что характеристическая функция $f$, $\varphi (t,u)$, является функцией только от $t^{2}+u^{2}$. Отсюда показать, что единственным распределением независимых случайных величин, обладающим указанным свойством, является нормальное. (Рассмотреть ортогональное преобразование $t, u$.)

Рассмотрим две независимые случайные выборки $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ и $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ из распределения Лапласа

Показать, что средние разностей $X_{i}-Y_{i}$ и сумм $X_{i}+Y_{i}$ имеют одинаковое распределение, но не являются независимыми. Ортогональны ли они?

Если $\varphi (t)$ — характеристическая функция, показать, что (а) $|\varphi (t)|^{2}$, (б) $e^{\lambda (\varphi (t)-1)}$ также являются характеристическими функциями.

Вычислить производящую функцию вероятностей мультиномиального распределения, а затем показать, что

(Продолжение задачи 210.) Если при $n\to \infty$ $np_{j}\to \lambda_{j}$ $(j=1,2,\ldots ,k+1)$, то мультиномиальное распределение стремится к $k$-мерному пуассоновскому распределению $Y=(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{k})$, где $Y_{i}$ независимы и пуассоновские, причём $Y_{j}$ имеет параметр $\lambda_{j}$ (ср. упражнение 183).

Вычислить характеристическую функцию отрицательного мультиномиального распределения

где $s>0$, $\theta_{j}>0$ $(n_{j}=0,1,2,\ldots )$, а $n_{k+1}=n-(n_{1}+\cdots +n_{k})$, и, отсюда,

$X, Y$ имеют распределение непрерывного типа с характеристической функцией $\varphi (t_{1},t_{2})$. Показать, что условная характеристическая функция $X$ при условии $Y=y$ равна

Случайная выборка $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n_{1}+n_{2}-n}$ по непрерывной случайной величине $X$ с $-\infty < X < \infty$ случайным образом разбивается на три подмножества по $(n_{1}-n)$, $(n_{2}-n)$ и $n$ наблюдений $(n_{1}>n, n_{2}>n)$. Пусть $S_{1}, S_{2}$ и $S_{3}$ обозначают соответствующие суммы. Найти характеристическую функцию

Показать, что следующие распределения бесконечно делимы: (а) Паскаля, (б) Коши, (в) Лапласа, (г) гамма.

Радиус окружности измеряется приближённо, так что он имеет равномерное распределение на интервале $(a, b)$. Найти распределение:

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с одинаковой показательной плотностью

Показать, что сумма $X + Y$ и отношение $X/Y$ независимы.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые равномерные величины на $(0, 1)$. Найти вероятность того, что корни уравнения $\lambda^{2} + 2X\lambda + Y = 0$ действительны.

Угол $\varphi$, под которым выпущен снаряд с начальной скоростью $v$, имеет равномерное распределение на интервале $(0, \pi /2)$. Найти распределение горизонтального расстояния $d$ между точкой выстрела и точкой падения снаряда.

Пусть $X$ и $Y$ — нормальные величины с нулевым средним, дисперсией $\sigma^{2}$ и коэффициентом корреляции $\rho$.

Пусть $A = (X, Y)$ — точка попадания выстрела в вертикальную мишень с центром в начале координат $O$, и предположим, что распределение $A$ таково, как в упражнении 220 при $\rho = 0$ (называемое круговым нормальным). Показать, что расстояние $R = (OA)$ между точкой попадания и центром мишени и угол $OA$ с горизонтальной осью (то есть полярные координаты $A$) являются независимыми величинами. Найти распределение $R^{2}$.

Если $X$ имеет равномерное распределение на интервале $(0, 1)$, то:

Если $X_{1}, X_{2}$ независимы и равномерны на интервале $(0, 1)$, найти плотности:

Два друга $A$ и $B$ договариваются встретиться между 12 (полдень) и 1 часом дня в ресторане. Предположим, что они приходят случайным образом между 12 и 1 часом дня независимо друг от друга, а обед длится 30 минут; какова вероятность того, что они встретятся в ресторане? Пусть $T$ — момент их встречи. Каково условное распределение $T$,

Пусть $X$ и $Y$ независимы с плотностями

Показать, что $XY$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(0, \sigma^{2}\right)$.

Даны $n$ независимых случайных чисел $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из $(0, 1)$, называемых псевдослучайными числами; показать, что:

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с функцией распределения $F(\cdot )$; рассмотрим случайную величину

Это преобразование называется вероятностным интегральным преобразованием.

Показать, что распределение $Y$ равномерно на интервале $(0, 1)$, то есть

Дана случайная выборка $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из равномерного распределения; показать, что решения $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ уравнений $y_{1} = F^{-1}(x_{1}), y_{2} = F^{-1}(x_{2}), \ldots , y_{n} = F^{-1}(x_{n})$ образуют случайную выборку из распределения $F$.

(Продолжение задачи 227.) Предположим, что рост $X$ мужчин имеет нормальное распределение $\mathscr {N}\left(167 \text{ см}, 9 \text{ см}^{2}\right)$, и берётся случайная выборка из 10 мужчин с ростом $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{10}$. Какова вероятность того, что (случайный) интервал $\delta = [\min (X_{1}, \ldots , X_{10}), \max (X_{1}, \ldots , X_{10})]$ покрывает по крайней мере 95 населения по росту? То есть требуется вычислить $\mathbb {P}\left(\mathbb {P}\left(X \in \delta \right) \geq 0.95\right)$; заметим, что $\mathbb {P}\left(X \in \delta \right)$, зависящая от случайного интервала $\delta$, является случайной величиной.

$X$ называется логнормальной величиной, если $\log X = Y$ имеет нормальное распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \sigma^{2}\right)$.

Показать, что если $F(x, y)$ — функция распределения $X$ и $Y$, и

то

Если $F(x, y)$ непрерывна, найти плотности $Z$ и $W$.

(Продолжение задачи 230.) Если $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$, показать, что

Пусть $X = (X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k})$ имеет распределение Дирихле. Найти распределение,

(Продолжение задачи 232.) Если $X_{i}$ $(i = 1, 2, \ldots , k+1)$ — независимые гамма-величины с параметрами $n_{1}, \ldots , n_{k+1}$ и $\lambda$ соответственно, показать, что

имеют $k$-мерное распределение Дирихле (5.11).

Пусть $X$ и $Y$ — независимые пуассоновские величины с параметрами $\lambda$ и $\mu$. Показать, что:

Пусть $X$ и $Y$ — независимые биномиальные величины с параметрами $N, p$ и $M, p$ соответственно. Показать, что:

Показать, что среднее

и дисперсия

случайной выборки $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из $\mathscr {N}\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ независимы. Отсюда вывести распределение $(n-1)s^{2}$.

Указание:

Тест для проблемы Беренса–Фишера. Чтобы проверить, имеют ли две гетероскедастичные нормальные совокупности одинаковые средние, используется статистика

где $\overline{x}, \overline{y}$ — выборочные средние независимых выборок из $\mathscr {N}\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ и из $\mathscr {N}\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ соответственно, $m \leq n$, а $u_{j} = x_{j} - (\sqrt{m/n}) y_{j}$ $(j = 1, 2, \ldots , m)$. Показать, что $t$ имеет распределение Стьюдента с $m-1$ степенями свободы при $\mu_{1} = \mu_{2} = \mu$.