Общие упражнения

Используя неравенство Коши--Шварца, показать, что

— выпуклая функция. Затем показать, что $[\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{t}\right]]^{1/t}$ — возрастающая функция $t$.

Каждая действительная характеристическая функция $\varphi_{0}(t)$ удовлетворяет неравенству

Каждая действительная характеристическая функция $\varphi_{0}(t)$ удовлетворяет

Если $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ совместно нормальны с $\operatorname {Cov}\left[ X_{i}, X_{j} \right] = \mathbb {E}\left[X_{i} X_{j}\right] = \sigma_{ij}$, показать, используя производящие функции моментов, что

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка из равномерного распределения на $(0, 1)$, и пусть $Y_{n} = n \min (X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n})$. Используя характеристические функции, показать, что асимптотическое распределение ($n \to \infty$) величины $Y_{n}$ — показательное $e^{-y}$, $y > 0$.

Пусть $(X_{1}, Y_{1}), \ldots , (X_{n}, Y_{n})$ — случайная выборка из двумерного нормального распределения со средними 0, дисперсиями 1 и корреляцией $\rho$. Пусть случайная величина

Найти $\mathbb {E}\left[\overline{Z}\right]$.

$n$ билетов пронумерованы от 1 до $n$. Из них $r$ билетов, вытянутых случайным образом, являются выигрышными. Выигрышный билет получает сумму, равную номеру, который он несёт. Каково ожидаемое значение выплачиваемой суммы при каждом розыгрыше? Какова дисперсия этой суммы?

В обобщённой биномиальной схеме с $\mathbb {P}\left(X_{i} = 1\right) = p_{i}$ ($i = 1, 2, \ldots , n$) показать, что при $n \to \infty$ распределение числа успехов $X = \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ стремится к пуассоновскому с параметром $\lambda$, где $\lambda = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} p_{i}$, при условии $\max_{i} \lambda_{i} \to 0$.

Пусть $X$ — число неудач, предшествующих $n$-му успеху в последовательности независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$. Показать, что если при $n \to \infty$, $q = 1-p \to 0$ так, что $nq \to \lambda$, то

Если непрерывная случайная величина $X$ такова, что для некоторого целого $k > 0$ величина $kX$ имеет гамма-распределение, а условное распределение $Y$ при данном $X$ является пуассоновским, то $Y$ имеет отрицательное биномиальное распределение.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка из распределения Лапласа

Используя характеристические функции, показать, что случайная величина

распределена как $(\sigma /2n)\chi^{2}_{2n}$. Отсюда вывести, что $\mathbb {E}\left[Y\right] = \sigma$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка из распределения с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = 1$. Показать, что

где $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}$.

Пусть $X_{(1)}, \ldots , X_{(n)}$ — упорядоченная выборка из равномерного распределения на $(0, 1)$ и $Y_{r} = X_{(1)} + X_{(2)} + \cdots + X_{(r)}$. Покажите, что условное распределение $W = Y_{r}/Y_{(r+1)}$ есть распределение суммы $r$ наблюдений случайной выборки из того же равномерного распределения.

$N$ точек $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ выбираются случайно на $(0, 1)$. Покажите, что распределение суммы $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}$ имеет плотность

где сумма продолжается, пока $x-1, x-2, \ldots$ и $(n-1-x), (n-2-x), \ldots$ положительны.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые дискретные величины с одинаковым равномерным распределением на множестве целых чисел $0, 1, \ldots , m-1$, т.е.,

Найдите производящую функцию вероятностей суммы $S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n}$ и, отсюда, функцию вероятностей $S_{n}$.

(Продолжение задачи 315.) Игральную кость бросают три раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10?

Заядлый курильщик имеет $m+1$ коробков спичек; каждый раз, закуривая сигарету, он выбирает один из коробков случайным образом. Предположим, что (изначально) каждый коробок содержит $N$ спичек. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{m}$ — количества спичек, оставшихся в остальных $m$ коробках, в момент, когда:

(Продолжение задачи 317.) Предположим, что коробок $C_{k}$ ($k = 1, \ldots , m$) выбирается с вероятностью $p_{k}$. Какова вероятность того, что $C_{k}$ опустошится первым?

Покажите, что $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ с совместным дискретным распределением независимы тогда и только тогда, когда

для всех $(x_{1}, x_{2})$ с $\mathbb {P}\left(X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}\right) > 0$ и

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые положительные случайные величины с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = \mu$, $\mathbb {E}\left[X_{i}^{-1}\right] = r$. Пусть $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[S_{n}^{-1}\right]$ существует и

(Продолжение задачи 320.) Покажите, что

Гусеница передвигается по рёбрам тетраэдра $ABCD$, на вершине которого нанесён клей. За единицу времени гусеница переходит от любой вершины (кроме $D$) к любой другой вершине с одинаковой вероятностью $1/3$. Предположим, что в момент времени $t = 0$ гусеница находится в вершине $A$. Какова вероятность того, что

Блоха случайно передвигается по плоскости, совершая на каждом шаге прыжок постоянной длины $a$ в случайном направлении. Если она начинает движение из начала координат, пусть $(X_{n}, Y_{n})$ — положение блохи после $n$ прыжков. Причём

Углы $\theta_{i}$ независимо и равномерно распределены на $(0, 2\pi )$.

Пусть случайные величины $X_{1}, \ldots , X_{n}$ имеют совместную плотность

Покажите, что любые $n-1$ из $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимы, нормальны со средним 0 и дисперсией 1. Являются ли $X_{1}, \ldots , X_{n}$ совместно нормальными?

В задаче 288 предположим, что плоскость разделена на квадраты равноотстоящими линиями, параллельными осям. Пусть $2a$ — сторона каждого квадрата, а $2\mu$ — длина иглы. Найдите среднее число линий, пересекаемых иглой,

Пусть $X, Y$ — независимые $\chi^{2}$-величины, каждая с $n$ степенями свободы. Покажите, что

имеет распределение Стьюдента с $n$ степенями свободы. Отсюда выведите, что:

Если для заданного значения $\lambda$ величины $\Lambda$ случайная величина $X(\Lambda )$ является пуассоновской с параметром $\lambda$, а $\Lambda$ — случайная величина с гамма-плотностью

покажите, что $X(\Lambda )$ имеет отрицательное биномиальное распределение

где $p = (1+a)^{-1}$, $q = a(a+1)^{-1}$.

Покажите, что для любых двух случайных величин $X$ и $Y$ с $\operatorname {Var}\left[X\right] < \infty$,

Используя распределение $X_{(t)}$, где $X_{(1)}, \ldots , X_{(n)}$ — упорядоченная выборка из равномерного распределения на $(0, 1)$, покажите следующее соотношение между неполной $B$-функцией $I_{x}(n_{1}, n_{2})$ и функцией биномиального распределения: