Производящие функции. Характеристические функции

Найдите производящую функцию вероятностей и, следовательно, среднее и дисперсию следующих распределений: (a) биномиального, (b) Пуассона, (c) геометрического, (d) Паскаля. Кроме того, выведите соответствующие производящие функции моментов и характеристические функции.

Пусть $X_{1} = X_{2} = X$, где $X$ имеет плотность Коши

Докажите, что

в то время как $X_{1}$, $X_{2}$ не являются независимыми.

Из производящей функции вероятностей $P_{X}(t)$ величины $X = 0, 1, 2, \ldots$ найдите производящую функцию вероятностей $Y = 3X+2$.

Используя производящую функцию вероятностей, докажите, что случайная величина $S_{N}$ из формулы (6.3) --- $S_{N} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$, где случайная величина $N = 0, 1, \ldots$, а $X_{i}$ полностью независимы и одинаково распределены --- имеет дисперсию, заданную формулой $\operatorname {Var}\left[S_{N}\right] = \mathbb {E}\left[N\right]\operatorname {Var}\left[X\right] + \operatorname {Var}\left[N\right]\mathbb {E}\left[X\right]^{2}$.

Женщина продолжает рожать детей до тех пор, пока не родит мальчика! Предположим, что вероятность рождения светловолосого ребёнка равна $p$; найдите вероятность того, что у женщины будет $k$ светловолосых детей. (Предположим, что цвет волос не зависит от пола.)

Число $N$ посетителей магазина имеет распределение Пуассона. В среднем 150 женщин посещают магазин ежедневно. Из них $100p_{1}\%$ покупают мини, $100p_{2}\%$ покупают миди, $100p_{3}\%$ покупают макси, а остальные ничего не покупают. (Ни одна женщина не покупает больше одного платья!!) Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — соответствующие числа купленных за день мини, миди и макси. Найдите совместную функцию вероятности $X_{1}, X_{2}, X_{3}$. Являются ли они независимыми?

Пусть $X$, $Y$ независимы с плотностями

Докажите, что $\varphi_{X}(t) = \varphi_{Y}(t)$ при $|t| \leq \min \left\{ 1/a, 1/b, 1/c\right\}$, $2c = a+b$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение со средним $\mu$ и дисперсией $1$. Положим

Кроме того, пусть случайная величина $T = aY_{v}$, где $a, v$ — подходящие константы, а $Y_{v}$ подчиняется $\chi^{2}$-распределению с $v$ степенями свободы. Используя характеристические функции, найдите константы $a$ и $v$ так, чтобы случайные величины $S_{n}$ и $T$ имели одинаковые средние и одинаковые дисперсии.

Докажите, что $S_{N}$ из формулы (6.3) --- $S_{N} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$, где случайная величина $N = 0, 1, \ldots$, а $X_{i}$ полностью независимы и одинаково распределены --- имеет характеристическую функцию

Докажите, что $\varphi (t) = \exp [\lambda (e^{-|t|}-1)]$ является характеристической функцией распределения Пуассона, обобщённого (составного) распределением Коши. Затем, используя формулу обращения, найдите его плотность.

Пусть $Z_{n}$ — случайная величина, подчиняющаяся биномиальному распределению с параметрами $n$ и $p = \lambda /n$ $(\lambda > 0)$. Кроме того, пусть случайная величина $Z$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Докажите, что $\lim_{n\to \infty } \varphi_{Z_{n}}(t) = \varphi_{Z}(t)$ $(t \in R)$, где $\varphi_{Z_{n}}(t)$ и $\varphi_{Z}(t)$ — характеристические функции $Z_{n}$ и $Z$ соответственно. Затем выведите аппроксимацию биномиального распределения распределением Пуассона.

Вычислите характеристическую функцию гамма-распределения с плотностью

Затем выведите характеристическую функцию $\chi_{n}^{2}$.

При $n$-м подбрасывании монеты игрок получает или платит $2^{-n}$ драхмы в зависимости от того, выпал орёл или решка. Пусть $Y_{n}$ — выигрыш игрока после $n$ подбрасываний. Покажите, что распределение $Y_{n}$ при $n\to \infty$ стремится к равномерному распределению на интервале $(-1,1)$. Сначала найдите характеристическую функцию $Y_{n}$.

$X$ имеет функцию распределения $F(x)$, являющуюся смесью двух функций распределения $F_{1}, F_{2}$ следующего вида:

Если $F_{1}$ есть $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$, а $F_{2}$ есть $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$, найти характеристическую функцию $F$, а затем $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

Найти вторую характеристическую функцию (производящую функцию кумулянтов) $\psi (t)$ показательного распределения с плотностью

и доказать, что кумулянт порядка $r$, $\kappa_{r}$, задаётся формулой

(Продолжение задачи 205.) Пусть $Y$ — дискретная случайная величина, определённая следующим образом. Для $h > 0$ и $k = 0, 1, 2, \ldots$,

Найти производящую функцию вероятностей $Y$, а затем показать, что $\mathbb {E}\left[X\right] > \mathbb {E}\left[Y\right]$, $\operatorname {Var}\left[X\right] < \operatorname {Var}\left[Y\right]$.

Пусть плотность $f(x,y) = g(x^{2}+y^{2})$, т.е. она обладает круговой симметрией относительно начала координат. Показать, что характеристическая функция $f$, $\varphi (t,u)$, является функцией только от $t^{2}+u^{2}$. Отсюда показать, что единственным распределением независимых случайных величин, обладающим указанным свойством, является нормальное. (Рассмотреть ортогональное преобразование $t, u$.)

Рассмотрим две независимые случайные выборки $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ и $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ из распределения Лапласа

Показать, что средние разностей $X_{i}-Y_{i}$ и сумм $X_{i}+Y_{i}$ имеют одинаковое распределение, но не являются независимыми. Ортогональны ли они?

Если $\varphi (t)$ — характеристическая функция, показать, что (а) $|\varphi (t)|^{2}$, (б) $e^{\lambda (\varphi (t)-1)}$ также являются характеристическими функциями.

Вычислить производящую функцию вероятностей мультиномиального распределения, а затем показать, что

(Продолжение задачи 210.) Если при $n\to \infty$ $np_{j}\to \lambda_{j}$ $(j=1,2,\ldots ,k+1)$, то мультиномиальное распределение стремится к $k$-мерному пуассоновскому распределению $Y=(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{k})$, где $Y_{i}$ независимы и пуассоновские, причём $Y_{j}$ имеет параметр $\lambda_{j}$ (ср. упражнение 183).

Вычислить характеристическую функцию отрицательного мультиномиального распределения

где $s>0$, $\theta_{j}>0$ $(n_{j}=0,1,2,\ldots )$, а $n_{k+1}=n-(n_{1}+\cdots +n_{k})$, и, отсюда,

$X, Y$ имеют распределение непрерывного типа с характеристической функцией $\varphi (t_{1},t_{2})$. Показать, что условная характеристическая функция $X$ при условии $Y=y$ равна

Случайная выборка $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n_{1}+n_{2}-n}$ по непрерывной случайной величине $X$ с $-\infty < X < \infty$ случайным образом разбивается на три подмножества по $(n_{1}-n)$, $(n_{2}-n)$ и $n$ наблюдений $(n_{1}>n, n_{2}>n)$. Пусть $S_{1}, S_{2}$ и $S_{3}$ обозначают соответствующие суммы. Найти характеристическую функцию

Показать, что следующие распределения бесконечно делимы: (а) Паскаля, (б) Коши, (в) Лапласа, (г) гамма.