Банк задач по математике

Задача 171

(a)(b)

Совместное распределение $(X, Y)$ задано как $\mathbb {P}\left(X=0, Y=0\right) = \mathbb {P}\left(X=0, Y=1\right) = \mathbb {P}\left(X=1, Y=1\right) = 1/3$ .

?

(a)

Найдите маргинальные функции распределения $X$ , $Y$ .

(b)

Проверьте, являются ли точки $P_{1}: (-1/2, 0)$ , $P_{2}: (0, 1)$ точками непрерывности $F(x, y)$ .

Задача 172

Покажите, что функция

F(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{при } x + y < 1, \\ 1 & \text{при } x + y \geq 1, \end{cases}

не является совместной функцией распределения.

?

Задача 173

Рассмотрим семью с двумя детьми. Пусть $X_{n} = 1$ , если $n$ -й ребёнок — мальчик, для $n = 1, 2$ , и $X_{3} = 1$ , если мальчик только один, в противном случае $X_{i} = 0$ ( $i = 1, 2, 3$ ). Покажите, что $X_{i}$ попарно независимы, но не полностью независимы.

?

Задача 174

(a)(b)

$X$ и $Y$ имеют совместную плотность

f(x, y) = c x^{n_{1}-1} (y-x)^{n_{2}-1} e^{-y} \quad \text{при } 0 < x < y < \infty .

Найдите

?

(a)

константу $c$ ,

(b)

маргинальные распределения $X$ и $Y$ .

Задача 175

$k$ -мерное гипергеометрическое распределение имеет функцию вероятности

\mathbb {P}\left(X_{1}=n_{1}, \ldots , X_{k}=n_{k}\right) = \binom {N p_{1}}{n_{1}} \cdots \binom {N p_{k+1}}{n_{k+1}} \bigg/ \binom {N}{n},

где

n_{k+1} = n - (n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}), \qquad p_{k+1} = 1-(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{k}), \quad n_{i} > 0, \; p_{i} > 0.

Покажите, что условное распределение $X_{k}$ при заданных $X_{1}, \ldots , X_{k-1}$ является гипергеометрическим.

?

Задача 176

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k}$ распределены согласно мультиномиальному распределению, то условное распределение $X_{1}$ при заданных $X_{2}=n_{2}, \ldots , X_{k}=n_{k}$ является биномиальным с параметрами $n-(n_{2}+\cdots +n_{k})$ и $p_{1}/(p_{1}+p_{k+1})$ .

?

Задача 177

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k}$ имеют распределение Дирихле, покажите, что условное распределение $X_{k}/S_{k}$ при $X_{i}=x_{i}$ , где $S_{k} = 1-(X_{1}+\cdots +X_{k-1})$ , есть $\beta (n_{k}, n_{k+1})$ .

?

Задача 178

(a)(b)

Пусть $X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})$ равномерно распределена в подмножестве положительного октанта, заданном условиями $x_{1} \geq 0$ , $x_{2} \geq 0$ , $x_{3} \geq 0$ , $x_{1}+x_{2}+x_{3} \leq c$ . Найдите:

?

(a)

плотность $X$ ,

(b)

маргинальное распределение $(X_{1}, X_{2})$ .

Задача 179

(a)(b)

Двумерное нормальное распределение имеет плотность

f(x, y) = c \exp \left[-x^{2}+xy-y^{2}\right].

Напомним, что $n$ -мерное (невырожденное) нормальное распределение $N(\mu , \Sigma )$ имеет плотность

f(x) = \left[(2\pi )^{p} \left|\Sigma \right|\right]^{-1/2} \exp \left[-\tfrac {1}{2}(x-\mu )' \Sigma ^{-1} (x-\mu )\right],

где $\mu = (\mu_{1}, \ldots , \mu_{n})' = \mathbb {E}\left[X\right]$ обозначает вектор средних, а $\Sigma$ обозначает (положительно определённую) ковариационную матрицу нормального случайного вектора $X$ .

?

(a)

Найдите константу $c$ и моменты второго порядка.

(b)

Найдите кривые постоянной плотности $f(x, y) = c^{*}$ .

Задача 180

(a)(b)(c)(d)

Если $(X, Y)$ равномерно распределена в треугольнике $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $x+y \leq 2$ , найдите:

?

(a)

плотность $(X, Y)$ ,

(b)

плотность $X$ ,

(c)

условную плотность $Y$ при $X = x$ ,

(d)

$\mathbb {E}\left[ Y \mid X=x \right]$ .

Задача 181

(a)(b)(c)

Кость брошена 12 раз.

?

(a)

Найдите вероятность того, что каждая грань выпадет дважды.

(b)

Пусть $X$ — число появлений 6, а $Y$ — число появлений 1. Найдите совместное распределение $X$ , $Y$ .

(c)

Найдите $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right]$ .

Задача 182

Покажите, что наиболее вероятное значение $(n_{1}^{0}, n_{2}^{0}, \ldots , n_{k+1}^{0})$ мультиномиального распределения удовлетворяет соотношениям

n p_{i} - 1 < n_{i}^{0} \leq (n+k) p_{i}, \qquad i = 1, 2, \ldots , k+1.

?

Примечание.

?

Покажите, что

p_{i} n_{j}^{0} \leq p_{j}(n_{i}^{0}+1) \quad \text{для } i \neq j, \; i, j = 1, 2, \ldots , k+1.

Задача 183

Если число испытаний $n$ велико, а $p_{i}$ малы, так что $np_{i} = \lambda_{i}$ умеренны, покажите, что мультиномиальное распределение может быть аппроксимировано так называемым многомерным распределением Пуассона

e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})} \frac{\lambda _{1}^{n_{1}} \lambda _{2}^{n_{2}} \cdots \lambda _{k}^{n_{k}}}{n_{1}! \, n_{2}! \cdots n_{k}!}.

?

Задача 184

(a)(b)(c)

Дано, что плотность $X$ и $Y$ равна

f(x, y) = \frac{2}{(1+x+y)^{3}}, \qquad x > 0, \; y > 0,

найдите:

?

(a)

$F(x, y)$ ,

(b)

$f_{X}(x)$ ,

(c)

$f_{Y}(y \mid X=x)$ .

Задача 185

Найдите функцию плотности $f(x, y)$ равномерного распределения в круге $x^{2}+y^{2} \leq 1$ . Найдите маргинальные распределения $X$ и $Y$ . Являются ли переменные $X$ и $Y$ независимыми?

?

Задача 186

Совместная плотность переменных $X, Y, Z$ равна

f(x, y, z) = 8xyz, \qquad 0 < x, y, z < 1.

Найдите $\mathbb {P}\left(X < Y < Z\right)$ .

?

Задача 187

(a)(b)

Для каждой из следующих плотностей $f(x, y)$ найдите $F(x, y)$ , $F_{X}(x)$ , $F_{Y}(y)$ , $f_{X}(x)$ , $f_{Y}(y)$ , $f_{X}(x \mid Y=y)$ , $f_{Y}(y \mid X=x)$ .

?

(a)

$f(x, y) = 4xy, \quad 0 < x, \; y < 1$ ,

(b)

$f(x, y) = \tfrac {1}{8}(x^{2}-y^{2}) e^{-x}, \quad 0 < x < \infty , \; \left|y\right| < x$ .

Задача 188

(a)(b)

Совместная функция вероятности $p(x_{i}, y_{j})$ величин $X, Y$ задана следующей таблицей:

\begin{array}{c|cccc|c}& y = -1 & 0 & 1 & 2 & p(x_{j}) \\ \hline x = -1 & 0.1 & 0.15 & 0 & 0.1 & 0.35 \\ 0 & 0.15 & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.45 \\ 1 & 0.05 & 0.05 & 0 & 0.1 & 0.20 \\ \hline q(y_{j}) & 0.3 & 0.2 & 0.1 & 0.4 & 1.00 \end{array}

?

(a)

Вычислите линии регрессии $X$ на $Y$ и $Y$ на $X$ .

(b)

Если можно наблюдать только $X$ , какова наилучшая оценка $Y$ через $X$ в смысле среднеквадратичной ошибки?

Задача 189

Покажите, что дискретные переменные $X$ и $Y$ с совместной функцией вероятности $p_{ij} = \mathbb {P}\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)$ независимы тогда и только тогда, когда матрица вероятностей $P = (p_{ij})$ имеет ранг 1.

?

Задача 190

Покажите, что две ортогональные (некоррелированные) переменные, каждая из которых принимает два значения, независимы.

?

Многомерные распределения