Специальные темы: неравенства, геометрические вероятности, разностные уравнения

Если $g(x) \geq 0$ для всех $x$ и $g(x) \geq c$ при $x \in (\alpha , \beta )$, то

(Продолжение задачи 270.) Показать, что для каждой константы $t > 0$

Если $X_{1}$ и $X_{2}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, то для каждого $t > 0$

Неравенство Кантелли. Одностороннее неравенство Чебышёва. Если $\mathbb {E}\left[X\right] = \mu$, $\operatorname {Var}\left[X\right] = \sigma^{2}$, то

(см. задачу 271).

Неравенство Гаусса. Если $x_{0}$ — мода непрерывного унимодального распределения и $\tau^{2} = \mathbb {E}\left[(X-x_{0})^{2}\right]$, то

Если $g(x) \geq 0$ и чётна, то есть $g(x) = g(-x)$, и, кроме того, $g(x)$ не убывает при $x > 0$, показать, что для каждого $c > 0$

(Продолжение задачи 275.) Если функция $g(x)$ из задачи 275 удовлетворяет $\left|g(x)\right| \leq M < \infty$, то

(Продолжение задачи 275.) Пусть $g$ такова же, как в задаче 275, и $\mathbb {P}\left(\left|X\right| \leq M\right) = 1$, тогда

Неравенство Бержа. Пусть $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = \mu_{i}$, $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = \sigma_{i}^{2}$ $(i = 1, 2)$ и $\rho (x_{1}, x_{2}) = \rho$, тогда

Неравенство Йенсена для симметричных матричных функций (Cacoullos and Olkin, Biometrika, 1965). Симметричная матричная функция $G(X)$ матрицы $X$ порядка $m \times n$ называется выпуклой, если для любой пары $X_{1}, X_{2}$ матриц размера $m \times n$ и $0 \leq \lambda \leq 1$, по аналогии с

(определяющим неравенством обычной выпуклой функции $g$ на интервале $(\alpha , \beta )$), выполняется

где для симметричных матриц $X, Y$ мы пишем $X \geq Y$, если $X - Y$ — неотрицательно определённая матрица. Пусть $X$ — случайная матрица, то есть матрица, элементы которой являются случайными величинами, а $G$ — выпуклая матричная функция. Тогда $G(\mathbb {E}\left[X\right]) \leq \mathbb {E}\left[G(X)\right]$.

Для положительной случайной матрицы показать, что

Показать, что если $\mathbb {E}\left[Y\right] < \infty$ и $Y > 0$, то

Для независимых одинаково распределённых случайных величин $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ с $\mathbb {P}\left(X_{i} > 0\right) = 1$ и $\operatorname {Var}\left[\log X_{i}\right] = \sigma^{2}$ показать, что для каждого $\varepsilon > 0$

Отсюда вывести

Точка выбирается случайным образом на каждой из двух смежных сторон прямоугольника. Какова вероятность того, что площадь треугольника, ограниченного двумя сторонами прямоугольника и отрезком, соединяющим эти две точки, меньше $3/8$ площади прямоугольника?

Две точки выбираются случайным образом на отрезке $AB$, который таким образом делится на три части. Какова вероятность того, что из трёх отрезков можно составить треугольник?

Какова вероятность того, что три точки, выбранные случайным образом на окружности, лежат на полуокружности?

Отрезок длины $1$ делится на пять частей четырьмя точками, выбранными на нём случайным образом. Какова вероятность того, что каждая часть меньше $1/2$?

Отрезок $AB$ делится точкой $C$ на две части $AC = a$ и $CB = b$. Точки $X$ и $Y$ берутся на $AC$ и $CB$ соответственно. Какова вероятность того, что $AX, XY, BY$ могут образовать треугольник?

Задача Бюффона об игле. Дан гладкий стол с равноотстоящими параллельными линиями на расстоянии $2a$. На стол бросают иглу длины $2\mu$ $(\mu < a)$. Какова вероятность того, что игла пересечёт линию?

На стол задачи 288 бросают замкнутую выпуклую кривую с диаметром менее $2a$. Найти вероятность того, что линия пересекается кривой.

У $A$ есть $a$ монет по 10 драхм, а у $B$ есть $b$ монет по 5 драхм. Каждый из них достаёт монету из кармана и отдаёт её другому. Это повторяется $n$ раз. Какова вероятность того, что $A$ отдаст $B$ монету в 10 драхм при $n$-м обмене?

$A$ бросает игральную кость, пока туз или шестёрка не выпадут дважды.

Профессор имеет три лекционные аудитории $A$, $B$ и $C$, доступные каждый год для преподавания курса. Поскольку он хочет использовать каждый год другую аудиторию, в конце года он выбирает одну из двух других аудиторий на следующий учебный год следующим образом. В первый год он преподаёт в $A$ и выбирает между $B$ и $C$ подбрасыванием монеты. Если выпадает орёл, он выбирает $B$, иначе — $C$. В конце каждого года он делает свой выбор таким же образом. Найти вероятность $p_{n}$ того, что он преподаёт в $A$ в $n$-м году. Аналогично для $B$ и $C$.

Найти вероятность $p_{n}$ того, что в последовательности из $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $(S)$ $p$ шаблон $SF$ вообще не появляется ($F \equiv$ неудача).

Пусть $y_{k}$ — ожидаемое число занятых ячеек при случайном размещении $k$ шаров по $n$ ячейкам. Найти $y_{k}$:

Пара игральных костей бросается $n$ раз; при каждом броске отмечается, выпала ли двойная шестёрка или нет. Показать, что вероятность $p_{n}$ чётного числа двойных шестёрок удовлетворяет разностному уравнению

Отсюда найти $p_{n}$.

Каждая из $n$ урн содержит $w$ белых шаров и $b$ чёрных шаров. Один шар переносится из первой урны во вторую, затем ещё один шар из второй урны переносится в третью, и так далее. Наконец, из $n$-й урны вынимается шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

$A$ и $B$ играют в следующую игру. $A$ подбрасывает монету I с вероятностью орла $p$, пока не выпадет решка; затем $B$ начинает подбрасывать другую монету II с вероятностью орла $p'$, пока не выпадет решка. Затем снова начинает $A$ и так далее. Дано, что игру начинает $A$; какова вероятность выпадения орла при $n$-м броске?

$A$ бросает две кости и получает $r$ очков, если выпадает $r$ тузов $(r = 0, 1, 2)$; игра останавливается, когда впервые не выпадает ни одного туза. Найти вероятность $p_{n}$ того, что при остановке у него $n$ очков. Если игра продолжается бесконечно, какова вероятность того, что у $A$ будет $n$ очков в какой-то момент игры?

Коробка содержит $a$ исправных ламп и $b$ неисправных ламп. При каждом извлечении лампы, если она исправна, она возвращается в коробку, в противном случае она заменяется исправной (из другой коробки). Каково ожидаемое число исправных ламп в коробке после $n$ испытаний? Отсюда вычислить вероятность извлечения исправной лампы при $n$-м испытании.

Пусть $p_{k}$ обозначает вероятность того, что ни одна ячейка не получит более двух шаров при случайном размещении $k$ шаров по $n$ ячейкам. Найти