Предельные теоремы. Законы больших чисел. Центральные предельные теоремы

Если независимые случайные величины $X_{1}, \ldots , X_{n}, \ldots$ удовлетворяют условию

то УЗБЧ выполняется.

В последовательности случайных величин $X_{1}, \ldots , X_{n}, \ldots$ предположим, что $X_{k}$ зависит только от $X_{k-1}, X_{k+1}$, но независима от всех остальных случайных величин ($k = 2, 3, \ldots$). Показать, что если $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] \leq N < \infty$ ($i = 1, 2, \ldots$), то ЗБЧ выполняется.

Если для каждого $n$ $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] \leq c < \infty$ и $\operatorname {Cov}\left[ X_{i}, X_{j} \right] < 0$ ($i, j = 1, 2, \ldots , n$), то ЗБЧ выполняется.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных величин такая, что $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] \leq c < \infty$ ($i = 1, 2, \ldots$) и $\operatorname {Cov}\left[ X_{i}, X_{j} \right] \to 0$ при $\left|i - j\right| \to \infty$; тогда ЗБЧ выполняется (теорема Бернштейна).

Если $X_{n} \xrightarrow {L} X$, $Y_{n} \xrightarrow {P} c$, то

Пусть $\xi_{n} = (X_{1n}, X_{2n}, \ldots , X_{kn})'$ ($n = 1, 2, \ldots$) — последовательность случайных векторов, а $\xi = (X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k})'$ — случайный вектор с функцией распределения $F(x_{1}, \ldots , x_{k})$. Если

для всех констант $c_{1}, \ldots , c_{k}$, то совместная функция распределения $F_{\xi_{n}}$ величин $X_{1n}, \ldots , X_{kn}$ имеет предел и

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность независимых равномерно ограниченных случайных величин, то есть существует константа $M$ такая, что $\mathbb {P}\left(X_{k} \leq M\right) = 1$ для всех $k = 1, 2, \ldots$, и пусть $\operatorname {Var}\left[X_{k}\right] \neq 0$ для каждого $k$. Если $s_{n}^{2} \to \infty$, то ЦПТ выполняется (ср. (8.13)).

Формула (8.13), ЦПТ Ляпунова: пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = \mu_{i}$, $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = \sigma_{i}^{2}$, $\beta_{i} = \mathbb {E}\left[\left|X_{i} - \mu_{i}\right|^{3}\right]$, и пусть $s_{n} = \left(\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^{2}\right)^{1/2}$, $B_{n} = \left(\sum_{i=1}^{n} \beta_{i}\right)^{1/3}$; если $B_{n}/s_{n} \to 0$ при $n \to \infty$, то

Показать, что

Если $X$ и $Y$ — независимые пуассоновские величины с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ соответственно, показать, что

Показать, что для последовательностей $\left\{ X_{n}\right\}$ независимых случайных величин с

Сравнить результаты, даваемые неравенством Чебышёва и ЦПТ для вероятностей

Случайная величина $X$ имеет распределение Парето с плотностью

Построить график функции $g(\delta ) = \mathbb {P}\left(\left|X - \mu \right| > \delta \right)$, где $\mu = \mathbb {E}\left[X\right]$, и сравнить его с верхней оценкой, даваемой неравенством Чебышёва.

Дано, что $\operatorname {Var}\left[X\right] = 9$, найти число $n$ наблюдений (объём выборки), необходимое для того, чтобы с вероятностью менее $5\%$ выборочное среднее отличалось от неизвестного среднего $\mu$ величины $X$ более,

При опросе, предназначенном для оценки процента $p$ мужчин, поддерживающих определённый законопроект, сколько мужчин следует опросить, чтобы с вероятностью не менее $95\%$ процент по выборке отличался от $p$ менее,

1. чем на $1\%$,

2. чем на $5\%$, при условии, что

3. $p < 30\%$, и

4. $p$ совершенно неизвестно.

Каждый из 300 рабочих завода обедает в одном из трёх конкурирующих ресторанов. Сколько мест должно быть в каждом ресторане, чтобы в среднем не более чем один из 20 посетителей оставался без места?

Ошибка округления до второго десятичного знака имеет равномерное распределение на интервале $(-0.05, 0.05)$. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка суммы 1000 чисел меньше 2?

Ежедневный доход карточного игрока имеет равномерное распределение на интервале $(-40, 50)$.

В рулетке вероятность выигрыша равна $18/37$. Предположим, что в каждой игре игрок выигрывает 1 драхму или проигрывает 1 драхму. Сколько игр в день должно быть сыграно в казино, чтобы казино с вероятностью $1/2$ заработало не менее 1000 драхм в день? Затем найти процент дней, в которые казино несёт убыток.

Показать, что $\Gamma$-распределение из задачи 202 стремится к нормальному распределению при $s \to \infty$.