Распределение функций случайных величин

Радиус окружности измеряется приближённо, так что он имеет равномерное распределение на интервале $(a, b)$. Найти распределение:

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с одинаковой показательной плотностью

Показать, что сумма $X + Y$ и отношение $X/Y$ независимы.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые равномерные величины на $(0, 1)$. Найти вероятность того, что корни уравнения $\lambda^{2} + 2X\lambda + Y = 0$ действительны.

Угол $\varphi$, под которым выпущен снаряд с начальной скоростью $v$, имеет равномерное распределение на интервале $(0, \pi /2)$. Найти распределение горизонтального расстояния $d$ между точкой выстрела и точкой падения снаряда.

Пусть $X$ и $Y$ — нормальные величины с нулевым средним, дисперсией $\sigma^{2}$ и коэффициентом корреляции $\rho$.

Пусть $A = (X, Y)$ — точка попадания выстрела в вертикальную мишень с центром в начале координат $O$, и предположим, что распределение $A$ таково, как в упражнении 220 при $\rho = 0$ (называемое круговым нормальным). Показать, что расстояние $R = (OA)$ между точкой попадания и центром мишени и угол $OA$ с горизонтальной осью (то есть полярные координаты $A$) являются независимыми величинами. Найти распределение $R^{2}$.

Если $X$ имеет равномерное распределение на интервале $(0, 1)$, то:

Если $X_{1}, X_{2}$ независимы и равномерны на интервале $(0, 1)$, найти плотности:

Два друга $A$ и $B$ договариваются встретиться между 12 (полдень) и 1 часом дня в ресторане. Предположим, что они приходят случайным образом между 12 и 1 часом дня независимо друг от друга, а обед длится 30 минут; какова вероятность того, что они встретятся в ресторане? Пусть $T$ — момент их встречи. Каково условное распределение $T$,

Пусть $X$ и $Y$ независимы с плотностями

Показать, что $XY$ имеет распределение $\mathscr {N}\left(0, \sigma^{2}\right)$.

Даны $n$ независимых случайных чисел $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из $(0, 1)$, называемых псевдослучайными числами; показать, что:

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с функцией распределения $F(\cdot )$; рассмотрим случайную величину

Это преобразование называется вероятностным интегральным преобразованием.

Показать, что распределение $Y$ равномерно на интервале $(0, 1)$, то есть

Дана случайная выборка $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из равномерного распределения; показать, что решения $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ уравнений $y_{1} = F^{-1}(x_{1}), y_{2} = F^{-1}(x_{2}), \ldots , y_{n} = F^{-1}(x_{n})$ образуют случайную выборку из распределения $F$.

(Продолжение задачи 227.) Предположим, что рост $X$ мужчин имеет нормальное распределение $\mathscr {N}\left(167 \text{ см}, 9 \text{ см}^{2}\right)$, и берётся случайная выборка из 10 мужчин с ростом $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{10}$. Какова вероятность того, что (случайный) интервал $\delta = [\min (X_{1}, \ldots , X_{10}), \max (X_{1}, \ldots , X_{10})]$ покрывает по крайней мере 95 населения по росту? То есть требуется вычислить $\mathbb {P}\left(\mathbb {P}\left(X \in \delta \right) \geq 0.95\right)$; заметим, что $\mathbb {P}\left(X \in \delta \right)$, зависящая от случайного интервала $\delta$, является случайной величиной.

$X$ называется логнормальной величиной, если $\log X = Y$ имеет нормальное распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \sigma^{2}\right)$.

Показать, что если $F(x, y)$ — функция распределения $X$ и $Y$, и

то

Если $F(x, y)$ непрерывна, найти плотности $Z$ и $W$.

(Продолжение задачи 230.) Если $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $\mathscr {N}\left(0, 1\right)$, показать, что

Пусть $X = (X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{k})$ имеет распределение Дирихле. Найти распределение,

(Продолжение задачи 232.) Если $X_{i}$ $(i = 1, 2, \ldots , k+1)$ — независимые гамма-величины с параметрами $n_{1}, \ldots , n_{k+1}$ и $\lambda$ соответственно, показать, что

имеют $k$-мерное распределение Дирихле (5.11).

Пусть $X$ и $Y$ — независимые пуассоновские величины с параметрами $\lambda$ и $\mu$. Показать, что:

Пусть $X$ и $Y$ — независимые биномиальные величины с параметрами $N, p$ и $M, p$ соответственно. Показать, что:

Показать, что среднее

и дисперсия

случайной выборки $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ из $\mathscr {N}\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ независимы. Отсюда вывести распределение $(n-1)s^{2}$.

Указание:

Тест для проблемы Беренса–Фишера. Чтобы проверить, имеют ли две гетероскедастичные нормальные совокупности одинаковые средние, используется статистика

где $\overline{x}, \overline{y}$ — выборочные средние независимых выборок из $\mathscr {N}\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ и из $\mathscr {N}\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ соответственно, $m \leq n$, а $u_{j} = x_{j} - (\sqrt{m/n}) y_{j}$ $(j = 1, 2, \ldots , m)$. Показать, что $t$ имеет распределение Стьюдента с $m-1$ степенями свободы при $\mu_{1} = \mu_{2} = \mu$.

Найти совместную плотность порядковых статистик $X_{(1)} < X_{(2)} < \cdots < X_{(n)}$ из распределения непрерывного типа.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка из непрерывного распределения $F$, найти:

Пусть $X_{(1)} < X_{(2)} < \cdots < X_{(n)}$ — упорядоченная выборка из непрерывного распределения $F(x)$. Показать, что

Указание: Использовать совместную плотность $X_{(k)}, X_{(k+1)}$.

Случайная выборка размера $n$ берётся из равномерного распределения на интервале $(0, 1)$. Найти,

Если $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ — упорядоченные наблюдения случайной выборки размера 3 из распределения с плотностью

Для $\alpha = \beta = 0.4$ показать, что $\mathbb {P}\left(\theta - \alpha < y_{2} < \theta + \beta \right) = 0.944$.

Пусть $Y_{1} < Y_{2} < Y_{3}$ — упорядоченные наблюдения случайной выборки размера 3 из распределения с плотностью

Показать, что $Z_{1} = Y_{1}/Y_{2}, Z_{2} = Y_{2}/Y_{3}$ и $Z_{3} = Y_{3}$ полностью независимы.

Если $X_{1}, X_{2}$ — независимые $\beta$-величины с плотностями $\beta (n_{1}, n_{2})$ и $\beta (n_{1}+1/2, n_{2})$ соответственно, где для $n_{1} > 0, n_{2} > 0$,

Показать, что $Y = \sqrt{X_{1} X_{2}}$ также имеет $\beta$-распределение $\beta (2n_{1}, 2n_{2})$.

Пара случайных величин $(X, Y)$ имеет плотность

Найти распределение $Z = Y - X$. Независимы ли $Z$ и $X$? (ср. упражнение 174).

Показать, что $Z = 2\sqrt{XY}$, где $X$ и $Y$ — две независимые $\Gamma$-величины с параметрами $(\lambda_{1}, n)$ и $(\lambda_{2}, n+1/2)$ соответственно, имеет $\Gamma$-распределение с параметрами $(\lambda , 2n)$, где $\lambda = \sqrt{\lambda_{1}\lambda_{2}}$.

Для пары $(X, Y)$ из упражнения 245 показать, что $W = X/Y$ имеет плотность $\beta (m, n)$ из упражнения 244.

Если $X$ и $Y$ независимы и имеют распределение $\mathscr {N}\left(0, \sigma^{2}\right)$, показать, что

также независимы и нормальны.

Пусть $X$ имеет $n$-мерное нормальное распределение $\mathscr {N}\left(\mu , \Sigma \right)$. Найти плотность $Y = AX$, где $A$ — невырожденная матрица.

Точки попадания двух игроков $A_{1}, A_{2}$ в вертикальную мишень имеют круговое нормальное распределение со средним в центре мишени и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно. Найти вероятность того, что точка попадания $A_{1}$ ближе к центру, чем точка попадания $A_{2}$.