Матрицы и системы линейных уравнений

Дана матрица

Даны матрицы

Можно ли сложить матрицы

Даны матрицы

Вычислите матрицу $2 A+3 B-C$.

С какими коэффициентами раскладывается матрица

по матрицам $A$ и $B$ и $C$ из предыдущей задачи?

Можно ли разложить матрицу $\left\| \begin{array}{ll}1 & 3 \\ 7 & 9\end{array}\right\|$ по матрицам

Являются ли линейно независимыми строки

Пусть аффинные преобразования f $u \mathrm{~ g}$ в некоторой системе координат записаны соответственно формулами

u

Докажите, что произведение $\mathrm{g} \cdot \mathrm{f}$ запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна

Пусть $\| 2\|$ — матрица размеров $1 \times 1$ с элементом 2. Верно ли, что

Пусть $\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{n}$ — столбцы матрицы $A, a \mathbf{b}^{1}, \ldots , \mathbf{b}^{n}$ — строки матрицы В. Убедитесь, что

Верно ли, что для любых двух квадратных матрии, одного и того же порядка

Рассмотрим матричное уравнение $X^{2}+E=O$.

Поставим в соответствие каждому комплексному числу $z=a+b i$ матрицу

Проверьте, что выполнены равенства $A\left(z_{1}\right)+A\left(z_{2}\right)=A\left(z_{1}+z_{2}\right)$; $A(\bar{z})=A^{T}(z) ; \quad \left|z\right|^{2}=\det A ; \quad A\left(z_{1}\right) A\left(z_{2}\right)=A\left(z_{1} z_{2}\right) ; \quad A\left(z^{-1}\right)=A^{-1}(z)$.

Найдите обратную для матрицы

Разложите матрицу из упражнения 7 в произведение элементарных.

Дана матрица

Квадратная матрица порядка $n$ имеет нулевую подматрицу порядка $n-1$. Оцените ранг матрицы.

Матрица $A$ порядка $n$ содержит нулевую подматрицу размеров $m \times k$, причем $m+k>n$. Докажите, что $A$ вырождена.

Пусть $A$ — матрица с элементами $a_{i j}, i=1, \ldots , m$; $j=1, \ldots , n$ и $\operatorname {Rg} A=1$. Докажите, что найдутся ненулевой столбец $\mathbf{a}=\left\| \alpha_{1}, \ldots , \alpha_{m}\right\|$ и ненулевая строка $\mathbf{b}=\left\| \beta_{1}, \ldots , \beta_{n}\right\|$, такие что $a_{i j}=\alpha_{i} \beta_{j}$ для всех $i$ и $j$.

$B$ матрице ранга $r$ отмечены $r$ линейно независимых строк и $r$ линейно независимых столбцов. Докажите, что на их пересечении стоит минор, отличный от нуля. Покажите на примере, что утверждение неверно, если число отмеченных строк меньше $r$.

Докажите, что для любых матриц, $A$ и $B$ одинаковых размеров ранг суммы не больше суммы рангов.

Пусть столбцы матрицы $A$ размеров $m \times n$ линейно независимы и определено произведение $A B$. Докажите, что $\operatorname {Rg} A B=\operatorname {Rg} B$.

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$. Выразите $\det \alpha A$ через $\det A$.

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $2 n+1$, и $A^{T}=-A$. Докажите, что $\det A=0$.

Докажите, что детерминант любой треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Вычислите

К каждому элементу матрицы $A$ прибавлено одно и то же число $t$. Докажите, что детерминант получившейся матрицы — линейная функция от $t$.

Вычислите детерминант порядка $n$ :

Два квадратных многочлена $a x^{2}+b x+c$ и $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$, $(a, \alpha \neq 0)$ имеют общий корень. Докажите, что

Докажите, что уравнение $X^{2}+E=O$ не имеет решений среди вещественных матриц нечетного порядка.

Сколько нарушений порядка в перестановке (5, 4, 3, 2, 1)?

Пусть матрица $P$ порядка $n$ имеет вид

где $A$ и $C$ — квадратные подматрицы порядков $k$ и $n-k$, а $O$ — нулевая подматрица. При помощи формулы полного разложения докажите, что $\det P=\det A \det C$.

Пусть числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ попарно различны. Докажите, что при любых $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ найдется единственный многочлен степени $\leqslant 2$, график которого проходит через точки с координатами $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right)$.

Пользуясь формулами для элементов обратной матрицы, найдите обратную для матрицы

Система линейных уравнений с матрицей $A$ совместна при любом столбце свободных членов тогда и только тогда, когда строки матрицы А линейно независимы. Докажите это

Даны векторы $\mathbf{a} u \mathbf{b}, \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$. При помощи теоремы Фредгольма докажите, что уравнение $[\mathbf{a}, \mathbf{x}]=\mathbf{b}$ имеет решение тогда и только тогда, когда $(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0$.

Найдите фундаментальную матрицу для системы с матрицей $\left\| \begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right\|$.

Пусть $\left\| E_{r} \mid B\right\|$ — упрощенный вид матрицы однородной системы уравнений с $n$ неизвестными. Найдите фундаментальную матрицу системы.

Пусть $F$ — фундаментальная матрица системы линейных уравнений $A \mathbf{x}=\mathbf{o}$ с $n$ неизвестными и строки $A$ линейно независимы. Какая будет фундаментальная матрица у системы

Напишите общее решение системы с расширенной матрицей

Пусть матрица $F$ размеров $n \times p$ — фундаментальная матрица некоторой системы уравнений. Докажите, что $F^{\prime }$ будет фундаментальной матрицей той же системы тогда и только тогда, когда найдется невырожденная матрица $Q$ порядка $p$, такая что $F^{\prime }=F Q$.

Рассматривается система из трех уравнений с двумя неизвестными. Убедитесь, что применение теоремы Фредгольма к этой системе равносильно такому (геометрически очевидному) утверждению: вектор $\mathbf{b}$ раскладывается по векторам $\mathbf{a}_{1}$ и $\mathbf{a}_{2}$ тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору $\mathbf{y}$, ортогональному этим векторам.

Пусть система уравнений $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ совместна. Докажите, что уравнение $\mathbf{a x}=\beta$ является следствием этой системы тогда и только тогда, когда оно — линейная комбинация ее уравнений.