Ранг матрицы

Дана матрица

Квадратная матрица порядка $n$ имеет нулевую подматрицу порядка $n-1$. Оцените ранг матрицы.

Матрица $A$ порядка $n$ содержит нулевую подматрицу размеров $m \times k$, причем $m+k>n$. Докажите, что $A$ вырождена.

Пусть $A$ — матрица с элементами $a_{i j}, i=1, \ldots , m$; $j=1, \ldots , n$ и $\operatorname {Rg} A=1$. Докажите, что найдутся ненулевой столбец $\mathbf{a}=\left\| \alpha_{1}, \ldots , \alpha_{m}\right\|$ и ненулевая строка $\mathbf{b}=\left\| \beta_{1}, \ldots , \beta_{n}\right\|$, такие что $a_{i j}=\alpha_{i} \beta_{j}$ для всех $i$ и $j$.

$B$ матрице ранга $r$ отмечены $r$ линейно независимых строк и $r$ линейно независимых столбцов. Докажите, что на их пересечении стоит минор, отличный от нуля. Покажите на примере, что утверждение неверно, если число отмеченных строк меньше $r$.

Докажите, что для любых матриц, $A$ и $B$ одинаковых размеров ранг суммы не больше суммы рангов.

Пусть столбцы матрицы $A$ размеров $m \times n$ линейно независимы и определено произведение $A B$. Докажите, что $\operatorname {Rg} A B=\operatorname {Rg} B$.