Детерминанты

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$. Выразите $\det \alpha A$ через $\det A$.

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $2 n+1$, и $A^{T}=-A$. Докажите, что $\det A=0$.

Докажите, что детерминант любой треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Вычислите

К каждому элементу матрицы $A$ прибавлено одно и то же число $t$. Докажите, что детерминант получившейся матрицы — линейная функция от $t$.

Вычислите детерминант порядка $n$ :

Два квадратных многочлена $a x^{2}+b x+c$ и $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$, $(a, \alpha \neq 0)$ имеют общий корень. Докажите, что

Докажите, что уравнение $X^{2}+E=O$ не имеет решений среди вещественных матриц нечетного порядка.

Сколько нарушений порядка в перестановке (5, 4, 3, 2, 1)?

Пусть матрица $P$ порядка $n$ имеет вид

где $A$ и $C$ — квадратные подматрицы порядков $k$ и $n-k$, а $O$ — нулевая подматрица. При помощи формулы полного разложения докажите, что $\det P=\det A \det C$.