V.2

Умножение матриц

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача V.2.1

Пусть аффинные преобразования f u gu \mathrm{~ g} в некоторой системе координат записаны соответственно формулами

{x∗=a1x+b1y,y∗=a2x+b2y, \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=a_{1} x+b_{1} y, \\ y^{*}=a_{2} x+b_{2} y, \end{array}\right.

u

{x∗=c1x+d1y,y∗=c2x+d2y. \left\{ \begin{array}{l} x^{*}=c_{1} x+d_{1} y, \\ y^{*}=c_{2} x+d_{2} y . \end{array}\right.

Докажите, что произведение g⋅f\mathrm{g} \cdot \mathrm{f} запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна

∥c1d1c2d2∥∥a1b1a2b2∥. \left\| \begin{array}{ll} c_{1} & d_{1} \\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right\| \left\| \begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right\| .
?
Задача V.2.2

Пусть ∥2∥\| 2\| — матрица размеров 1×11 \times 1 с элементом 2. Верно ли, что

?
(а)

∥2∥∥123∥=∥246∥\| 2\| \left\| \begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right\| =\left\| \begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 6\end{array}\right\|

(б)

∥123∥∥2∥=∥246∥\left\| \begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right\| \| 2\| =\left\| \begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 6\end{array}\right\| ?

Задача V.2.3

Пусть a1,…,an\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{n} — столбцы матрицы A,ab1,…,bnA, a \mathbf{b}^{1}, \ldots , \mathbf{b}^{n} — строки матрицы В. Убедитесь, что

AB=∑i=1naibi. A B=\sum _{i=1}^{n} \mathbf{a}_{i} \mathbf{b}^{i} .
?
Задача V.2.4

Верно ли, что для любых двух квадратных матрии, одного и того же порядка

?
(а)

(A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2},

(б)

(A+B)2+(A−B)2=2(A2+B2)(A+B)^{2}+(A-B)^{2}=2\left(A^{2}+B^{2}\right) ?

Задача V.2.5

Рассмотрим матричное уравнение X2+E=OX^{2}+E=O.

?
(а)

Проверьте, что матрица

I=∥0−110∥ I=\left\| \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right\|

удовлетворяет этому уравнению. Как объяснить это в терминах задачи 1?

(б)

Найдите все решения этого уравнения среди вещественных матриц второго порядка.

Задача V.2.6

Поставим в соответствие каждому комплексному числу z=a+biz=a+b i матрицу

A(z)=∥a−bba∥. A(z)=\left\| \begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right\| .

Проверьте, что выполнены равенства A(z1)+A(z2)=A(z1+z2)A\left(z_{1}\right)+A\left(z_{2}\right)=A\left(z_{1}+z_{2}\right); A(zˉ)=AT(z);∣z∣2=det⁡A;A(z1)A(z2)=A(z1z2);A(z−1)=A−1(z)A(\bar{z})=A^{T}(z) ; \quad \left|z\right|^{2}=\det A ; \quad A\left(z_{1}\right) A\left(z_{2}\right)=A\left(z_{1} z_{2}\right) ; \quad A\left(z^{-1}\right)=A^{-1}(z).

?
Задача V.2.7

Найдите обратную для матрицы

∥100112113∥. \left\| \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right\| .
?
Задача V.2.8

Разложите матрицу из упражнения 7 в произведение элементарных.

?