Системы линейных уравнений (общая теория)

Система линейных уравнений с матрицей $A$ совместна при любом столбце свободных членов тогда и только тогда, когда строки матрицы А линейно независимы. Докажите это

Даны векторы $\mathbf{a} u \mathbf{b}, \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$. При помощи теоремы Фредгольма докажите, что уравнение $[\mathbf{a}, \mathbf{x}]=\mathbf{b}$ имеет решение тогда и только тогда, когда $(\mathbf{a}, \mathbf{b})=0$.

Найдите фундаментальную матрицу для системы с матрицей $\left\| \begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right\|$.

Пусть $\left\| E_{r} \mid B\right\|$ — упрощенный вид матрицы однородной системы уравнений с $n$ неизвестными. Найдите фундаментальную матрицу системы.

Пусть $F$ — фундаментальная матрица системы линейных уравнений $A \mathbf{x}=\mathbf{o}$ с $n$ неизвестными и строки $A$ линейно независимы. Какая будет фундаментальная матрица у системы

Напишите общее решение системы с расширенной матрицей

Пусть матрица $F$ размеров $n \times p$ — фундаментальная матрица некоторой системы уравнений. Докажите, что $F^{\prime }$ будет фундаментальной матрицей той же системы тогда и только тогда, когда найдется невырожденная матрица $Q$ порядка $p$, такая что $F^{\prime }=F Q$.

Рассматривается система из трех уравнений с двумя неизвестными. Убедитесь, что применение теоремы Фредгольма к этой системе равносильно такому (геометрически очевидному) утверждению: вектор $\mathbf{b}$ раскладывается по векторам $\mathbf{a}_{1}$ и $\mathbf{a}_{2}$ тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору $\mathbf{y}$, ортогональному этим векторам.

Пусть система уравнений $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ совместна. Докажите, что уравнение $\mathbf{a x}=\beta$ является следствием этой системы тогда и только тогда, когда оно — линейная комбинация ее уравнений.