Линейные операторы

Найти матрицу левого умножения на $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ в алгебре $L_2(K)$ в базисе, составленном из матричных единиц. Доказать инвариантность подпространств $\langle E_{11}, E_{21} \rangle$ и $\langle E_{12}, E_{22} \rangle$.

Доказать, что коэффициент при $t^{n-k}$ многочлена $f_{\mathscr {A}}(t)$ равен $(-1)^k \times$ (сумма главных миноров порядка $k$ матрицы $A$). (Главным минором квадратной матрицы называется определитель ее подматрицы, расположенной симметрично относительно главной диагонали.)

Доказать, что линейный оператор $\mathscr {P}$ является проектором (для каких-то $U$ и $W$) тогда и только тогда, когда $\mathscr {P}^2 = \mathscr {P}$.

Доказать, что линейный оператор $\mathscr {R}$ является отражением (для каких-то $U$ и $W$) тогда и только тогда, когда $\mathscr {R}^2 = \mathscr {E}$.

Доказать, что группа $\mathrm{O}(V)$ порождается отражениями относительно $(n-1)$-мерных подпространств (где $n = \dim V$).

Доказать, что всякую матрицу $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb {R})$ можно представить в виде $A = O_1DO_2$, где $O_1, O_2$ --- ортогональные матрицы, а $D$ --- диагональная матрица с положительными элементами. Насколько однозначно такое представление?

Доказать, что высота любого корневого вектора, отвечающего корню $\lambda$, не превосходит $\dim V^\lambda (\mathscr {A})$.

Доказать, что максимальный порядок жордановых клеток с собственным значением $\lambda$ в жордановой форме матрицы оператора $\mathscr {A}$ равен высоте нильпотентного оператора $\mathscr {N} = (\mathscr {A}-\lambda \mathscr {E})|_{V^\lambda (\mathscr {A})}$.

Доказать, что всякая комплексная матрица подобна своей транспонированной матрице.

Найти минимальные многочлены нулевого и тождественного операторов.

Найти явный вид нормы линейного оператора для каждой из трех норм $\| x\| = \max_i |x_i|$, $\| x\| = \sqrt{\sum_i |x_i|^2}$ (евклидова/эрмитова норма), $\| x\| = \sum_i |x_i|$ в пространстве $K^n$.