Линейные представления и ассоциативные алгебры

Рассмотрим линейное представление $\mathrm{Ad}$ группы $\mathrm{GL}_n(K)$ в пространстве $L_n(K)$, задаваемое формулой

Доказать, что если $\operatorname {char} K = 0$, то $\langle E\rangle$ и $\{ X \in L_n(K): \operatorname {tr} X=0\}$ --- минимальные инвариантные подпространства, и вывести отсюда, что представление $\mathrm{Ad}$ вполне приводимо.

Доказать, что если поле $K$ алгебраически замкнуто, то всякий эндоморфизм представления

(где $S: X \to L(U)$ --- неприводимое представление, а $Z$ --- некоторое векторное пространство) имеет вид $u \otimes z \mapsto u \otimes \mathscr {C}z$, где $\mathscr {C}$ --- некоторый линейный оператор в пространстве $Z$.

Тензорным произведением представлений $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ и $S: H \to \mathrm{GL}(W)$ называется представление

Доказать, что тензорное произведение неприводимых представлений групп $G$ и $H$ над алгебраически замкнутым полем неприводимо.

Доказать, что если $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ --- неприводимое представление группы $G$ над алгебраически замкнутым полем, то

Доказать, что в случае $\operatorname {char} K = 0$ число различных корней многочлена $h$ равно рангу матрицы (билинейной формы следа умножения, ассоциированной с алгеброй $K[x]/(h)$).

Доказать обратное утверждение: всякая простая коммутативная алгебра над $K$ есть либо поле, содержащее $K$ (т.е. расширение $K$), либо одномерная алгебра с нулевым умножением.

Доказать, что всякая (конечномерная) полупростая коммутативная ассоциативная алгебра $A$ над алгебраически замкнутым полем есть прямая сумма нескольких копий самого поля $K$.

Вычислив двумя способами скалярное умножение в алгебре $\mathbb {R}^{x}/(h)$, где $h \in \mathbb {R}^{x}$ --- многочлен, не имеющий кратных комплексных корней, доказать, что число пар сопряженных мнимых корней многочлена $h$ равно отрицательному индексу инерции симметрической матрицы (билинейной формы следа умножения). В частности, все корни многочлена $h$ вещественны тогда и только тогда, когда эта матрица положительно определена.

Описать неприводимые представления группы диэдра $D_n$.

Доказать, что всякое неприводимое представление группы $G \times H$ есть тензорное произведение неприводимых представлений групп $G$ и $H$ (см. определение в задаче 11.1.3).

Пусть $V$ --- (6-мерное) пространство функций на множестве граней куба. Изоморфизм группы $S_4$ и группы вращений куба определяет линейное представление группы $S_4$ в пространстве $V$: всякий элемент $g \in S_4$ каким-то образом переставляет грани куба, и представление $R$ действует тем же образом переставляя $\delta$-функции этих граней. Найти минимальные инвариантные подпространства для этого представления $R$.

Пусть $G \subset S_n$ --- дважды транзитивная группа подстановок. (Это означает, что для любых двух упорядоченных пар различных символов найдется подстановка из $G$, переводящая первую пару во вторую.) Доказать, что представление группы $G$ в пространстве функций на множестве $\{ 1,\ldots ,n\}$ разлагается в сумму ровно двух неприводимых представлений, одно из которых --- тривиальное одномерное.

Составить таблицу характеров группы $A_5$.

Пусть $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ --- какое-то линейное представление конечной группы $G$. Доказать, что проектор $\mathscr {P}_i$ пространства $V$ на его изотипную компоненту, отвечающую неприводимому представлению $R_i$ группы $G$, может быть задан формулой

где $n=|G|$, $n_i = \dim R_i$, а $\chi_i$ --- характер представления $R_i$.

Доказать, что если $R$ --- неприводимое представление какой-либо группы, то сопряженное представление $R^*$ также неприводимо.

Доказать, что все представления конечной группы $G$ самосопряженны тогда и только тогда, когда всякий элемент группы $G$ сопряжен своему обратному.

Пусть в пространствах $V$ и $W$ выбраны какие-то базисы и представления $R$ и $S$ записаны в этих базисах. Будем задавать элемент пространства $V \otimes W$ матрицей $Z$, составленной из его координат. Доказать, что представление $RS$ (произведение представлений $R,S: G \to \mathrm{GL}(V), \mathrm{GL}(W)$, определяемое формулой $g \mapsto R(g) \otimes S(g)$) в этих терминах задается формулой

Доказать, что неприводимое представление группы самосопряженно тогда и только тогда, когда оно ортогонально или симплектично.

Доказать, что неприводимое комплексное представление конечной группы является комплексификацией вещественного представления тогда и только тогда, когда оно ортогонально.

Доказать, что сумма размерностей ортогональных неприводимых представлений конечной группы $G$ минус сумма размерностей ее симплектических неприводимых представлений равна числу решений уравнения $x^2=e$ в $G$.

В доказательстве теоремы о том, что если $G \subset \mathrm{GL}(V)$ --- конечная группа и ее порядок не делится на $\operatorname {char} K$, то ее орбиты разделяются инвариантами, использовался тот факт, что для любого конечного числа точек пространства $V$ существует многочлен, принимающий в этих точках любые наперед заданные значения. Доказать это.

Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда в ней нет делителей нуля.

Доказать, что в алгебре $D(1,1) \simeq L_2(K)$ норма есть определитель соответствующей матрицы. Как в матричных терминах интерпретируется стандартная инволюция этой алгебры?

Доказать, что $D(\alpha ,1) \simeq L_2(K)$ при любом $\alpha \in K^*$.

Неприводимые вещественные представления по теореме Фробениуса разбиваются на три типа, для которых $D=\mathbb {R}, \mathbb {C}$ и $\mathbb {H}$ соответственно. Показать, что представления этих трех типов характеризуются тем, что их комплексификация неприводима, разлагается в сумму двух неизоморфных неприводимых представлений и разлагается в сумму двух изоморфных неприводимых представлений соответственно.

Алгебра $D$ (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если для любых $a,b \in D$, $a \neq 0$, каждое из уравнений $ax=b$ и $ya=b$ имеет решение. Доказать, что для ассоциативных алгебр это определение эквивалентно определению через отсутствие делителей нуля (задача 11.6.1).

Доказать, что утверждение задачи 11.6.1 справедливо и для неассоциативных алгебр (в смысле определения из задачи 11.6.5).

Доказать, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна.