Банк задач по математике

Задача 11.1.1

Рассмотрим линейное представление $\mathrm{Ad}$ группы $\mathrm{GL}_n(K)$ в пространстве $L_n(K)$ , задаваемое формулой

\mathrm{Ad}(A)X = AXA^{-1}.

Доказать, что если $\operatorname {char} K = 0$ , то $\langle E\rangle$ и $\{ X \in L_n(K): \operatorname {tr} X=0\}$ --- минимальные инвариантные подпространства, и вывести отсюда, что представление $\mathrm{Ad}$ вполне приводимо.

?

Задача 11.1.2

Доказать, что если поле $K$ алгебраически замкнуто, то всякий эндоморфизм представления

R: X \to L(U \otimes Z), \qquad R(x)(u \otimes z) = (S(x)u) \otimes z

(где $S: X \to L(U)$ --- неприводимое представление, а $Z$ --- некоторое векторное пространство) имеет вид $u \otimes z \mapsto u \otimes \mathscr {C}z$ , где $\mathscr {C}$ --- некоторый линейный оператор в пространстве $Z$ .

?

Задача 11.1.3

Тензорным произведением представлений $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ и $S: H \to \mathrm{GL}(W)$ называется представление

R \otimes S: G \times H \to \mathrm{GL}(V \otimes W), \qquad (R \otimes S)(g,h) = R(g) \otimes S(h).

Доказать, что тензорное произведение неприводимых представлений групп $G$ и $H$ над алгебраически замкнутым полем неприводимо.

?

Задача 11.1.4

(1)(2)(3)

Доказать, что если $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ --- неприводимое представление группы $G$ над алгебраически замкнутым полем, то

?

(1)

любая ненулевая инвариантная билинейная функция в пространстве $V$ невырожденна;

(2)

любые две такие функции пропорциональны;

(3)

любая такая функция либо симметрична, либо кососимметрична.

Инвариантные подпространства