Конечномерные ассоциативные алгебры

Доказать, что в случае $\operatorname {char} K = 0$ число различных корней многочлена $h$ равно рангу матрицы (билинейной формы следа умножения, ассоциированной с алгеброй $K[x]/(h)$).

Доказать обратное утверждение: всякая простая коммутативная алгебра над $K$ есть либо поле, содержащее $K$ (т.е. расширение $K$), либо одномерная алгебра с нулевым умножением.

Доказать, что всякая (конечномерная) полупростая коммутативная ассоциативная алгебра $A$ над алгебраически замкнутым полем есть прямая сумма нескольких копий самого поля $K$.

Вычислив двумя способами скалярное умножение в алгебре $\mathbb {R}^{x}/(h)$, где $h \in \mathbb {R}^{x}$ --- многочлен, не имеющий кратных комплексных корней, доказать, что число пар сопряженных мнимых корней многочлена $h$ равно отрицательному индексу инерции симметрической матрицы (билинейной формы следа умножения). В частности, все корни многочлена $h$ вещественны тогда и только тогда, когда эта матрица положительно определена.