Алгебры с делением

Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда в ней нет делителей нуля.

Доказать, что в алгебре $D(1,1) \simeq L_2(K)$ норма есть определитель соответствующей матрицы. Как в матричных терминах интерпретируется стандартная инволюция этой алгебры?

Доказать, что $D(\alpha ,1) \simeq L_2(K)$ при любом $\alpha \in K^*$.

Неприводимые вещественные представления по теореме Фробениуса разбиваются на три типа, для которых $D=\mathbb {R}, \mathbb {C}$ и $\mathbb {H}$ соответственно. Показать, что представления этих трех типов характеризуются тем, что их комплексификация неприводима, разлагается в сумму двух неизоморфных неприводимых представлений и разлагается в сумму двух изоморфных неприводимых представлений соответственно.

Алгебра $D$ (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если для любых $a,b \in D$, $a \neq 0$, каждое из уравнений $ax=b$ и $ya=b$ имеет решение. Доказать, что для ассоциативных алгебр это определение эквивалентно определению через отсутствие делителей нуля (задача 11.6.1).

Доказать, что утверждение задачи 11.6.1 справедливо и для неассоциативных алгебр (в смысле определения из задачи 11.6.5).

Доказать, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна.