Линейные представления конечных групп

Описать неприводимые представления группы диэдра $D_n$.

Доказать, что всякое неприводимое представление группы $G \times H$ есть тензорное произведение неприводимых представлений групп $G$ и $H$ (см. определение в задаче 11.1.3).

Пусть $V$ --- (6-мерное) пространство функций на множестве граней куба. Изоморфизм группы $S_4$ и группы вращений куба определяет линейное представление группы $S_4$ в пространстве $V$: всякий элемент $g \in S_4$ каким-то образом переставляет грани куба, и представление $R$ действует тем же образом переставляя $\delta$-функции этих граней. Найти минимальные инвариантные подпространства для этого представления $R$.

Пусть $G \subset S_n$ --- дважды транзитивная группа подстановок. (Это означает, что для любых двух упорядоченных пар различных символов найдется подстановка из $G$, переводящая первую пару во вторую.) Доказать, что представление группы $G$ в пространстве функций на множестве $\{ 1,\ldots ,n\}$ разлагается в сумму ровно двух неприводимых представлений, одно из которых --- тривиальное одномерное.

Составить таблицу характеров группы $A_5$.

Пусть $R: G \to \mathrm{GL}(V)$ --- какое-то линейное представление конечной группы $G$. Доказать, что проектор $\mathscr {P}_i$ пространства $V$ на его изотипную компоненту, отвечающую неприводимому представлению $R_i$ группы $G$, может быть задан формулой

где $n=|G|$, $n_i = \dim R_i$, а $\chi_i$ --- характер представления $R_i$.

Доказать, что если $R$ --- неприводимое представление какой-либо группы, то сопряженное представление $R^*$ также неприводимо.

Доказать, что все представления конечной группы $G$ самосопряженны тогда и только тогда, когда всякий элемент группы $G$ сопряжен своему обратному.

Пусть в пространствах $V$ и $W$ выбраны какие-то базисы и представления $R$ и $S$ записаны в этих базисах. Будем задавать элемент пространства $V \otimes W$ матрицей $Z$, составленной из его координат. Доказать, что представление $RS$ (произведение представлений $R,S: G \to \mathrm{GL}(V), \mathrm{GL}(W)$, определяемое формулой $g \mapsto R(g) \otimes S(g)$) в этих терминах задается формулой

Доказать, что неприводимое представление группы самосопряженно тогда и только тогда, когда оно ортогонально или симплектично.

Доказать, что неприводимое комплексное представление конечной группы является комплексификацией вещественного представления тогда и только тогда, когда оно ортогонально.

Доказать, что сумма размерностей ортогональных неприводимых представлений конечной группы $G$ минус сумма размерностей ее симплектических неприводимых представлений равна числу решений уравнения $x^2=e$ в $G$.