ИНТЕГРАЛЫ ПО МЕРЕ ЛЕБЕГА

(SC4b) Если $f(\boldsymbol {x})=-\infty$, то $f$ полунепрерывна сверху в точке $\boldsymbol {x}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})= -\infty$. (SC7b) $\bar{f}$ полунепрерывна сверху и является минимальной полунепрерывной сверху функцией $\geqslant f$. (SC9) Пусть $A$ обозначает произвольное непустое множество индексов. Для каждого $\alpha \in A$ предположим, что $f_{\alpha }$ — функция из $\mathbb {R}^{k}$ в $\overline{\mathbb {R}}$. Имеет место следующее:

Пусть $E \subset \overline{\mathbb {R}}^{k}$.

Пусть $K$ обозначает компактное подмножество $\mathbb {R}^{k}$.

Пусть $A$ обозначает произвольное непустое множество индексов, и предположим для каждого $\alpha \in A$, что $f_{\alpha }$ непрерывна.

Для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ и $\delta >0$ определим $\phi (\boldsymbol {x})=\inf_{\delta >0} \sup_{\boldsymbol {s}, \boldsymbol {t} \in B(\boldsymbol {x}, \delta )}\left|f(\boldsymbol {s})-f(\boldsymbol {t})\right|$.

Завершите доказательство (SC4).

(SC4): Имеет место следующее: (a) Если $f(\boldsymbol {x})=+\infty$, то $f$ полунепрерывна снизу в точке $\boldsymbol {x}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})=+\infty$. (b) Если $f(\boldsymbol {x})=-\infty$, то $f$ полунепрерывна сверху в точке $\boldsymbol {x}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})=-\infty$.

Дайте формальное изложение доказательства следующего [интуитивно очевидного] утверждения: множество $\boldsymbol {x} \in I$ таких, что $\boldsymbol {x}$ является граничной точкой некоторого подпрямоугольника $I$ на каком-то этапе, является $\lambda_{k}$-нулевым. Это утверждение было сделано в конце доказательства (SC3).

(SC3): Если $f(\boldsymbol {x})=-\infty$, то $f$ полунепрерывна снизу в точке $\boldsymbol {x}$. Если $f(\boldsymbol {x})=+\infty$, то $f$ полунепрерывна сверху в точке $\boldsymbol {x}$. [Тривиально верно.]

$\mathcal{B}_{I}^{k}$ — это $\sigma$-алгебра на $I$, порождённая $k$-мерными полузамкнутыми справа подпрямоугольниками $(\boldsymbol {c}, \boldsymbol {d}]$ множества $I$, а $\mathcal{L}_{I}^{k}=\overline{\mathcal{B}_{I}^{k}}$, где пополнение берётся относительно $\lambda_{k}|_{\mathcal{B}_{I}^{k}}$. Эта задача обосновывает использование введённых нами обозначений.

Сосредоточим внимание на замкнутом и ограниченном $k$-мерном прямоугольнике $I=[\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$. Предположим, что $f$ и $g$ интегрируемы по Риману на $I$. Используя основные результаты этого раздела, быстро покажите, что $af+bg$ [где $a, b \in \mathbb {R}$] и $fg$ также интегрируемы по Риману. [Идея в том, чтобы не воспроизводить доказательства, основанные на матанализе. Заметьте по Утверждению 1 или Утверждению 2 (этого раздела), что $af+bg$ и $fg$ непрерывны почти всюду на $I$, если $f$ и $g$ интегрируемы по Риману.]

Здесь возьмём $I=[0,1]$, и пусть $f$ обозначает индикаторную функцию множества рациональных чисел в $[0,1]$.

Решите следующие пункты:

Найдите $\int_{(0,1)} \frac{1}{\sqrt{x}} \, d\lambda (x)$, если он существует, иначе покажите, что он не существует. Заметьте, что $\frac{1}{\sqrt{x}}$ не ограничена на $(0,1)$, так что нельзя сразу применить Утверждение 1 или Утверждение 2 (этого раздела).

$\int_{\mathbb {R}} \frac{1}{1+x^{2}} \, d\lambda (x)$ существует и равен $\pi$. [Будьте здесь внимательнее, чем просто указать, что несобственный интеграл Римана $\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$ существует и равен $\pi$.]

Обязательно ли интегрируемая по Риману функция борелевски измерима?

Покажите, что $\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x} \, d\lambda (x)=+\infty$. [Будьте здесь внимательны.]

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что $\int_{\mathbb {R}} f \, d\bar{\lambda }$ существует и конечен. Далее предположим, что $\int_{(a,b)} f \, d\bar{\lambda }=0$ для каждого $-\infty <a<b<+\infty$. Тогда $f=0$ $\bar{\lambda }$-п.в. на $\mathbb {R}$. [Работайте от индикаторов к простым функциям, затем к неотрицательным функциям, затем к общим интегрируемым функциям.]

Примите результат задачи 8 [задача 7.4.8 выше]. Покажите, что не может существовать множество $E \in \mathcal{B}$ такое, что $\lambda \left(E \cap [a, b]\right)=\frac{1}{2}(b-a)$ для всех вещественных $a<b$. [Запишите левую часть как $\int_{[a,b]} \; \mathbb {1}_{E} \, d\lambda$, а правую часть — как $\int_{[a,b]} \frac{1}{2} \, d\lambda$. Используйте предыдущую задачу, рассуждая от противного.]

Существует вещественнозначная $f$ на $[0,1]$ такая, что $f$ непрерывна на $(0,1]$, $\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{[\delta , 1]} f \, d\bar{\lambda }$ существует и конечен, но $\int_{[0,1]} f \, d\bar{\lambda }$ не определён.

Предположим, что $f$ несобственно интегрируема по Риману на всей числовой прямой, так что

существует как вещественное число. [Заметьте, что это влечёт, что $f$ интегрируема по Риману на каждом интервале $[a, b]$.] Приведите достаточные условия на $f$, чтобы $\int_{\mathbb {R}} f \, d\lambda =\int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \, dx$.

Для общих элементов $f \in L^{1}$ определим $\left\| f\right\|_{1}=\int \left|f\right| \, d\bar{\lambda }_{k}$. Тогда

Для элементов $f, g \in L^{1}$ запишем $f \sim g$, если $f=g$ $\bar{\lambda }_{k}$-п.в. Тогда $\sim$ является отношением эквивалентности.

Для $f, g \in L^{1}$ определим $L^{1}$-расстояние между $f$ и $g$ как $\left\| f-g\right\|_{1}$. Покажите, что эта функция расстояния является метрикой, если мы условимся отождествлять функции, равные почти всюду.

Здесь мы покажем, что совокупность $C_{c}$ непрерывных функций с компактным носителем плотна в $L^{1}$, где понятие расстояния такое, как задано в предыдущей задаче. То есть, для данных $f \in L^{1}$ и $\varepsilon >0$ существует $g \in C_{c}$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{1}<\varepsilon$. Работайте на следующих этапах.

Мы знаем, что если $f \in L^{1}$, то $\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{1}$ для каждого $\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$. [$\tau_{\boldsymbol {y}}$ — оператор сдвига, заданный в Утверждении 2.] Покажите, что $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {0}} \left\| \tau_{\boldsymbol {y}} f-f\right\|_{1}=0$.