Замена переменных в линейном случае

[5/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 7.5.1

(a)(b)(c)(d)

Для общих элементов $f \in L^{1}$ определим $\left\| f\right\|_{1}=\int \left|f\right| \, d\bar{\lambda }_{k}$ . Тогда

(a)

$0 \leqslant \left\| f\right\|_{1}<+\infty$ .

(b)

$\left\| f\right\|_{1}=0$ тогда и только тогда, когда $f=0$ $\bar{\lambda }_{k}$ -п.в.

(c)

$\left\| cf\right\|_{1}=\left|c\right|\left\| f\right\|_{1}$ для любого вещественного $c$ .

(d)

$\left\| f+g\right\|_{1} \leqslant \left\| f\right\|_{1}+\left\| g\right\|_{1}$ [где $g \in L^{1}$ также].

Примечание.

Пункты (a)–(c) почти тривиальны. Используйте неравенство треугольника в (d).

Задача 7.5.2

Для элементов $f, g \in L^{1}$ запишем $f \sim g$ , если $f=g$ $\bar{\lambda }_{k}$ -п.в. Тогда $\sim$ является отношением эквивалентности.

Примечание.

Мы не можем формально утверждать, что $\left\| \cdot \right\|_{1}$ является нормой на $L^{1}$ , поскольку не выполняется, что $\left\| f\right\|_{1}=0$ вынуждает $f$ быть нулевым элементом — функцией, тождественно равной нулю — пространства $L^{1}$ . Однако, если мы условимся по соглашению отождествлять элементы $L^{1}$ , равные $\bar{\lambda }_{k}$ -п.в., и если мы будем рассматривать $\left\| \cdot \right\|_{1}$ как определённую на совокупности классов эквивалентности $L^{1}/\sim$ пространства $L^{1}$ , порождённых отношением $\sim$ , то $\left\| \cdot \right\|_{1}$ является нормой на $L^{1}/\sim$ , где «нулевой элемент» — это класс эквивалентности функций, равных нулю $\bar{\lambda }_{k}$ -п.в. Мы игнорируем это различие и вместо этого говорим о «норме $\left\| \cdot \right\|_{1}$ , определённой на $L^{1}$ » или о « $L^{1}$ -норме $\left\| \cdot \right\|_{1}$ », применяя $\left\| \cdot \right\|_{1}$ к функциям, а не к классам эквивалентности. То есть мы пишем $\left\| f\right\|_{1}$ [что немного некорректно] вместо гораздо более громоздкого [но полностью корректного] $\left\| \left\{ g \in L^{1}: g \sim f\right\} \right\|_{1}$ .

Задача 7.5.3

Для $f, g \in L^{1}$ определим $L^{1}$ -расстояние между $f$ и $g$ как $\left\| f-g\right\|_{1}$ . Покажите, что эта функция расстояния является метрикой, если мы условимся отождествлять функции, равные почти всюду.

Задача 7.5.4

Здесь мы покажем, что совокупность $C_{c}$ непрерывных функций с компактным носителем плотна в $L^{1}$ , где понятие расстояния такое, как задано в предыдущей задаче. То есть, для данных $f \in L^{1}$ и $\varepsilon >0$ существует $g \in C_{c}$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{1}<\varepsilon$ . Работайте на следующих этапах.

(a)

$f=\; \mathbb {1}_{A}$ , где $A$ — ограниченное лебегово подмножество $\mathbb {R}^{k}$ . [Найдите компактное $K$ и ограниченное открытое $G$ с $K \subseteq A \subseteq G$ и $\bar{\lambda }_{k}(G-K)<\varepsilon$ ; используйте теорему об аппроксимации из раздела 4.2. Используйте лемму Урысона из раздела 5.7, чтобы найти $g$ на $\mathbb {R}^{k}$ , непрерывную, с $0 \leqslant g \leqslant 1$ , $g=1$ на $K$ и $g=0$ на $G^{c}$ . Покажите, что $g-\; \mathbb {1}_{A}=0$ для всех $\boldsymbol {x} \in K \cup G^{c}$ и $\left|g-\; \mathbb {1}_{A}\right| \leqslant 1$ на $G-K$ . Покажите, что это даёт $\left\| g-\; \mathbb {1}_{A}\right\|_{1}<\varepsilon$ .]

(b)

$f$ — неотрицательная конечнозначная лебегово измеримая простая функция, равная нулю вне ограниченного множества, скажем $f=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}$ , где $0 \leqslant c_{1}, \ldots , c_{n}<+\infty$ , а $A_{1}, \ldots , A_{n}$ — дизъюнктные ограниченные $\mathcal{L}^{k}$ -множества. [Это следует из (a); аппроксимируйте каждую $\; \mathbb {1}_{A_{i}}$ некоторой $g_{i} \in C_{c}$ . Покажите, что $\sum_{i=1}^{n} c_{i} g_{i} \in C_{c}$ аппроксимирует $\sum_{i=1}^{n} c_{i} \; \mathbb {1}_{A_{i}}$ .]

(c)

$f$ — неотрицательная измеримая функция, равная нулю вне ограниченного множества. [Найдите неотрицательную конечнозначную неубывающую последовательность $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ лебегово измеримых простых функций, как в (b), равных нулю вне некоторого ограниченного множества, с $s_{n} \rightarrow f$ . Покажите, что $\lim_{n} \left\| s_{n}-f\right\|_{1}=0$ , используя ТМС. Следовательно, $f$ может быть аппроксимирована функциями типа, заданного в (b).]

(d)

$f$ — измеримая функция, равная нулю вне ограниченного множества. [Запишите $f$ как $f^{+}-f^{-}$ ; используйте (c). Этот пункт показывает, что $f$ может быть аппроксимирована функциями типа, заданного в (c).]

(e)

$f$ — совершенно общий элемент $L^{1}$ . [Используйте ТМС, чтобы показать предельное соотношение $\lim_{n} \left\| f \; \mathbb {1}_{B(\boldsymbol {0}, n)}-f\right\|_{1}=0$ . Таким образом, $f$ может быть аппроксимирована функциями типа, заданного в (d). Здесь $B(\boldsymbol {0}, n)$ — открытый шар с центром в начале координат радиуса $n$ .]

(f)

Пройдите от (e) к (a) в обратном порядке, чтобы доказать утверждение, данное в начале этой задачи.

Примечание.

Теорема об аппроксимации для меры Лебега (раздел 4.2), нужная здесь часть: для данных $A \in \mathcal{L}^{k}$ и $\varepsilon >0$ существуют замкнутое множество $C$ и открытое множество $G_{1}$ с $C \subseteq A \subseteq G_{1}$ и $\lambda_{k}\left(G_{1}-C\right)<\varepsilon /2$ ; в сочетании с аналогичным утверждением для $A^{c}$ это даёт компактное $K$ и ограниченное открытое $G$ с $K \subseteq A \subseteq G$ и $\lambda_{k}(G-K)<\varepsilon$ , когда само $A$ ограничено. Лемма Урысона (раздел 5.7): пусть $\varnothing \subsetneq F \subseteq G \subseteq \mathbb {R}^{k}$ , где $F$ замкнуто, а $G$ открыто. Тогда существует непрерывная функция $\phi : \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ такая, что (i) $0 \leqslant \phi (\boldsymbol {x}) \leqslant 1$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ , (ii) $\phi (\boldsymbol {x})=1$ для каждого $\boldsymbol {x} \in F$ , (iii) $\phi (\boldsymbol {x})=0$ для каждого $\boldsymbol {x} \in G^{c}$ , и (iv) $0<\phi (\boldsymbol {x})<1$ для каждого $\boldsymbol {x} \in G-F$ . Носитель функции $f$ — это множество $\operatorname {supp}(f)=\overline{\left\{ \boldsymbol {\omega } \in \mathbb {R}^{k}: f(\boldsymbol {\omega }) \neq 0\right\} }$ ; если это замкнутое множество ограничено, а значит компактно, говорят, что $f$ имеет компактный носитель.

Задача 7.5.5

Мы знаем, что если $f \in L^{1}$ , то $\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{1}$ для каждого $\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$ . [ $\tau_{\boldsymbol {y}}$ — оператор сдвига, заданный в Утверждении 2.] Покажите, что $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {0}} \left\| \tau_{\boldsymbol {y}} f-f\right\|_{1}=0$ .

Примечание.

Утверждение 2 (этого раздела): пусть $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ лебегово измерима, и пусть $\tau_{\boldsymbol {y}}$ обозначает сдвиг на некоторый $\boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$ : $\tau_{\boldsymbol {y}} f(\boldsymbol {x})=f(\boldsymbol {x}+\boldsymbol {y})$ для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ . Тогда: (a) $\tau_{\boldsymbol {y}} f$ лебегово измерима; (b) если $f$ неотрицательна, то $\int f \, d\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\lambda_{k}$ ; (c) если $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \lambda_{k}\right)$ , то $\tau_{\boldsymbol {y}} f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{L}^{k}, \lambda_{k}\right)$ , и снова $\int f \, d\lambda_{k}=\int \tau_{\boldsymbol {y}} f \, d\lambda_{k}$ .