7.1

Полунепрерывность

[6/17%]
Показать
LaTeX
Задача 7.1.1

(SC4b) Если f(x)=−∞f(\boldsymbol {x})=-\infty, то ff полунепрерывна сверху в точке x\boldsymbol {x} тогда и только тогда, когда lim⁡y→xf(y)=−∞\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})= -\infty. (SC7b) fˉ\bar{f} полунепрерывна сверху и является минимальной полунепрерывной сверху функцией ⩾f\geqslant f. (SC9) Пусть AA обозначает произвольное непустое множество индексов. Для каждого α∈A\alpha \in A предположим, что fαf_{\alpha } — функция из Rk\mathbb {R}^{k} в R‾\overline{\mathbb {R}}. Имеет место следующее:

?
(a)

Если fαf_{\alpha } полунепрерывна снизу для каждого α∈A\alpha \in A, то sup⁡α∈Afα\sup_{\alpha \in A} f_{\alpha } полунепрерывна снизу.

(b)

Если fαf_{\alpha } полунепрерывна сверху для каждого α∈A\alpha \in A, то inf⁡α∈Afα\inf_{\alpha \in A} f_{\alpha } полунепрерывна сверху.

Задача 7.1.2

Пусть E⊂R‾kE \subset \overline{\mathbb {R}}^{k}.

?
(a)

EE открыто тогда и только тогда, когда   1E\; \mathbb {1}_{E} полунепрерывна снизу.

(b)

EE замкнуто тогда и только тогда, когда   1E\; \mathbb {1}_{E} полунепрерывна сверху.

(c)

Имеем   1E‾=  1E∘\underline{\; \mathbb {1}_{E}}=\; \mathbb {1}_{E^{\circ }} и   1E‾=  1Eˉ\overline{\; \mathbb {1}_{E}}=\; \mathbb {1}_{\bar{E}}.

Задача 7.1.3
?
(a)

Если f1f_{1} и f2f_{2} полунепрерывны снизу [или сверху] и конечны на Rk\mathbb {R}^{k}, то f1+f2f_{1}+f_{2} полунепрерывна снизу [или сверху].

(b)

Если {fn}n=1∞\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } — последовательность неотрицательных полунепрерывных снизу [или сверху] функций, обязательно ли ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty } f_{n} полунепрерывна снизу [или сверху]?

Задача 7.1.4

Пусть KK обозначает компактное подмножество Rk\mathbb {R}^{k}.

?
(a)

Если ff — вещественнозначная функция, полунепрерывная сверху на KK, то ff достигает локального максимума на KK.

(b)

Если ff — вещественнозначная функция, полунепрерывная снизу на KK, то ff достигает локального минимума на KK.

Задача 7.1.5

Пусть AA обозначает произвольное непустое множество индексов, и предположим для каждого α∈A\alpha \in A, что fαf_{\alpha } непрерывна.

?
(a)

Не обязательно, что sup⁡α∈Afα\sup_{\alpha \in A} f_{\alpha } непрерывна.

(b)

sup⁡α∈Afα\sup_{\alpha \in A} f_{\alpha } борелевски измерима.

(c)

Не обязательно, что inf⁡α∈Afα\inf_{\alpha \in A} f_{\alpha } непрерывна, но в любом случае она всё равно борелевски измерима.

Задача 7.1.6

Для каждого x∈Rk\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k} и δ>0\delta >0 определим ϕ(x)=inf⁡δ>0sup⁡s,t∈B(x,δ)∣f(s)−f(t)∣\phi (\boldsymbol {x})=\inf_{\delta >0} \sup_{\boldsymbol {s}, \boldsymbol {t} \in B(\boldsymbol {x}, \delta )}\left|f(\boldsymbol {s})-f(\boldsymbol {t})\right|.

?
(a)

ϕ\phi полунепрерывна сверху, следовательно, борелевски измерима.

(b)

ff непрерывна в точке x\boldsymbol {x} тогда и только тогда, когда ϕ(x)=0\phi (\boldsymbol {x})=0.

(c)

{x∈Rk:f непрерывна в точке x}\left\{ \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}: f \text{ непрерывна в точке } \boldsymbol {x}\right\} является борелевским множеством. Это показывает, что для любой ff множество непрерывности ff [а также множество точек, где ff разрывна] является борелевским множеством.