Интеграл Римана, часть вторая

Сосредоточим внимание на замкнутом и ограниченном $k$-мерном прямоугольнике $I=[\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$. Предположим, что $f$ и $g$ интегрируемы по Риману на $I$. Используя основные результаты этого раздела, быстро покажите, что $af+bg$ [где $a, b \in \mathbb {R}$] и $fg$ также интегрируемы по Риману. [Идея в том, чтобы не воспроизводить доказательства, основанные на матанализе. Заметьте по Утверждению 1 или Утверждению 2 (этого раздела), что $af+bg$ и $fg$ непрерывны почти всюду на $I$, если $f$ и $g$ интегрируемы по Риману.]

Здесь возьмём $I=[0,1]$, и пусть $f$ обозначает индикаторную функцию множества рациональных чисел в $[0,1]$.

Решите следующие пункты:

Найдите $\int_{(0,1)} \frac{1}{\sqrt{x}} \, d\lambda (x)$, если он существует, иначе покажите, что он не существует. Заметьте, что $\frac{1}{\sqrt{x}}$ не ограничена на $(0,1)$, так что нельзя сразу применить Утверждение 1 или Утверждение 2 (этого раздела).

$\int_{\mathbb {R}} \frac{1}{1+x^{2}} \, d\lambda (x)$ существует и равен $\pi$. [Будьте здесь внимательнее, чем просто указать, что несобственный интеграл Римана $\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$ существует и равен $\pi$.]

Обязательно ли интегрируемая по Риману функция борелевски измерима?

Покажите, что $\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x} \, d\lambda (x)=+\infty$. [Будьте здесь внимательны.]

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что $\int_{\mathbb {R}} f \, d\bar{\lambda }$ существует и конечен. Далее предположим, что $\int_{(a,b)} f \, d\bar{\lambda }=0$ для каждого $-\infty <a<b<+\infty$. Тогда $f=0$ $\bar{\lambda }$-п.в. на $\mathbb {R}$. [Работайте от индикаторов к простым функциям, затем к неотрицательным функциям, затем к общим интегрируемым функциям.]

Примите результат задачи 8 [задача 7.4.8 выше]. Покажите, что не может существовать множество $E \in \mathcal{B}$ такое, что $\lambda \left(E \cap [a, b]\right)=\frac{1}{2}(b-a)$ для всех вещественных $a<b$. [Запишите левую часть как $\int_{[a,b]} \; \mathbb {1}_{E} \, d\lambda$, а правую часть — как $\int_{[a,b]} \frac{1}{2} \, d\lambda$. Используйте предыдущую задачу, рассуждая от противного.]

Существует вещественнозначная $f$ на $[0,1]$ такая, что $f$ непрерывна на $(0,1]$, $\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{[\delta , 1]} f \, d\bar{\lambda }$ существует и конечен, но $\int_{[0,1]} f \, d\bar{\lambda }$ не определён.

Предположим, что $f$ несобственно интегрируема по Риману на всей числовой прямой, так что

существует как вещественное число. [Заметьте, что это влечёт, что $f$ интегрируема по Риману на каждом интервале $[a, b]$.] Приведите достаточные условия на $f$, чтобы $\int_{\mathbb {R}} f \, d\lambda =\int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \, dx$.