Ступенчатые функции в евклидовом пространстве

Завершите доказательство (SC4).

(SC4): Имеет место следующее: (a) Если $f(\boldsymbol {x})=+\infty$, то $f$ полунепрерывна снизу в точке $\boldsymbol {x}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})=+\infty$. (b) Если $f(\boldsymbol {x})=-\infty$, то $f$ полунепрерывна сверху в точке $\boldsymbol {x}$ тогда и только тогда, когда $\lim_{\boldsymbol {y} \rightarrow \boldsymbol {x}} f(\boldsymbol {y})=-\infty$.

Дайте формальное изложение доказательства следующего [интуитивно очевидного] утверждения: множество $\boldsymbol {x} \in I$ таких, что $\boldsymbol {x}$ является граничной точкой некоторого подпрямоугольника $I$ на каком-то этапе, является $\lambda_{k}$-нулевым. Это утверждение было сделано в конце доказательства (SC3).

(SC3): Если $f(\boldsymbol {x})=-\infty$, то $f$ полунепрерывна снизу в точке $\boldsymbol {x}$. Если $f(\boldsymbol {x})=+\infty$, то $f$ полунепрерывна сверху в точке $\boldsymbol {x}$. [Тривиально верно.]