Многомерное нормальное распределение

Предположим, что $\varepsilon \sim N_{3}\left(0, \sigma^{2} \mathrm{I}_{3}\right)$ и что $Y_{0}$ имеет распределение $N\left(0, \sigma_{0}^{2}\right)$, независимо от $\varepsilon_{i}$. Определим

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$, и положим $\mathbf{X} = \mathbf{A Y}, \mathbf{U} = \mathbf{B Y}$ и $\mathbf{V} = \mathbf{C Y}$. Предположим, что $\operatorname {Cov}\left[ \mathbf{X}, \mathbf{U} \right] = \mathbf{0}$ и $\operatorname {Cov}\left[ \mathbf{X}, \mathbf{V} \right] = \mathbf{0}$. Покажите, что $\mathbf{X}$ независим от $\mathbf{U}+\mathrm{V}$.

Если $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ — случайная выборка из $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$, докажите, что $\bar{Y}$ независима от $\sum_{i = 1}^{n-1}\left(Y_{i}-Y_{i+1}\right)^{2}$.

Если $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ — $n$-мерные векторы с независимыми многомерными нормальными распределениями, докажите, что $a \mathbf{X}+b \mathbf{Y}$ также имеет многомерное нормальное распределение.

Если $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$ и $\mathbf{a}$ — ненулевой вектор, покажите, что условное распределение $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{Y}$ при условии $\mathbf{a}^{T} \mathbf{Y} = 0$ есть $\chi_{n-1}^{2}$.

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mu \mathbf{1}_{n}, \mathbf{\Sigma }\right)$, где $\mathbf{\Sigma } = (1-\rho ) \mathbf{I}_{n}+\rho \mathbf{1}_{n} \mathbf{1}_{n}^{T}$ и $\rho > -1 /(n-1)$. Покажите, что $\sum_{i}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} /(1-\rho )$ имеет распределение $\chi_{n-1}^{2}$.

Пусть $\mathbf{Y}_{i}, i = 1, \ldots , n$, — независимые случайные векторы $N_{p}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$. Покажите, что

является несмещённой оценкой $\mathbf{\Sigma }$.

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$ и пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — симметричные идемпотентные матрицы с $\mathbf{A B} = \mathbf{B A} = \mathbf{0}$. Покажите, что $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{A Y}, \mathbf{Y}^{T} \mathbf{B Y}$ и $\mathbf{Y}^{T}\left(\mathbf{I}_{n}-\mathbf{A}-\mathbf{B}\right) \mathbf{Y}$ имеют независимые распределения хи-квадрат.

Пусть $\left(X_{i}, Y_{i}\right), i = 1,2, \ldots , n$ — случайная выборка из двумерного нормального распределения со средними $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$, дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ и корреляцией $\rho$, и пусть

Если $\mathbf{Y} \sim N_{2}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma })$, где $\mathbf{\Sigma } = \left(\sigma_{i j}\right)$, докажите, что

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ — независимые случайные величины $N\left(0, \sigma^{2}\right)$, и определим

Покажите, что $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}\right)^{T}$ имеет многомерное нормальное распределение, и найдите его матрицу дисперсий-ковариаций. (Последовательность $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ называется процессом скользящего среднего первого порядка и широко используется в анализе временных рядов в качестве модели.)

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{3}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$. Найдите производящую функцию моментов величины $2\left(Y_{1} Y_{2}-Y_{2} Y_{3}-Y_{3} Y_{1}\right)$. Отсюда покажите, что эта случайная величина имеет то же распределение, что и $2 U_{1}-U_{2}-U_{3}$, где $U_{i}$ — независимые случайные величины $\chi_{1}^{2}$.

Теорему 2.3 можно использовать как определение многомерного нормального распределения. Если это так, выведите из этого определения следующие результаты:

Пусть $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}\right)^{T}$ — вектор из $n$ случайных величин $(n > 3)$ с функцией плотности

Докажите, что любое подмножество из $n-1$ случайных величин являются взаимно независимыми величинами $N(0,1)$.

Пусть $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}, Y_{4}\right)^{T} \sim N_{4}\left(\mathbf{0}, \mathrm{I}_{4}\right)$, и пусть $Q = Y_{1} Y_{2}-Y_{3} Y_{4}$.

Если $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$, найдите дисперсию

Дано $\mathbf{Y} \sim N_{n}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, докажите, что

Покажите, что

является плотностью двумерного нормального случайного вектора $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}\right)^{T}$.

Пусть $\mathbf{U}$ имеет плотность $g$, и пусть $\mathbf{Y} = \mathbf{A}(\mathbf{U}+\mathbf{c})$, где $\mathbf{A}$ невырождена. Покажите, что плотность $f$ величины $\mathbf{Y}$ удовлетворяет

где $\mathbf{y} = \mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{c})$.

Найдите производящую функцию моментов двумерного нормального распределения из примера 2.2.

Если $\mathbf{Y} \sim N_{n}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, покажите, что $Y_{i} \sim N\left(\mu_{i}, \sigma_{i i}\right)$.

Предположим, что $\mathbf{Y} \sim N_{3}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, где

Найдите совместное распределение $Z_{1} = Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}$ и $Z_{2} = Y_{1}-Y_{2}$.

Дано $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{\mu }, \mathbf{I}_{n}\right)$, найдите совместную плотность $\mathbf{a}^{T} \mathbf{Y}$ и $\mathbf{b}^{T} \mathbf{Y}$, где $\mathbf{a}^{T} \mathbf{b} = 0$, и, следовательно, покажите, что $\mathbf{a}^{T} \mathbf{Y}$ и $\mathbf{b}^{T} \mathbf{Y}$ независимы.

Пусть $\left(X_{i}, Y_{i}\right), i = 1,2, \ldots , n$, — случайная выборка из двумерного нормального распределения. Найдите совместное распределение $(\bar{X}, \bar{Y})$.

Если $Y_{1}$ и $Y_{2}$ — случайные величины такие, что $Y_{1}+Y_{2}$ и $Y_{1}-Y_{2}$ являются независимыми случайными величинами $N(0,1)$, покажите, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ имеют двумерное нормальное распределение. Найдите среднее и матрицу дисперсий $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}\right)^{T}$.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ имеют совместную плотность

Покажите, что $X_{1}$ и $X_{2}$ имеют маргинальные распределения $N(0,1)$.

Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ независимо распределены как $N(0,1)$. Вычислите п.ф.м. случайного вектора

и, следовательно, покажите, что $\bar{Y}$ независима от $\sum_{i}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ — н.о.р. $N(0,1)$. Пусть

Покажите, что $Y_{1}, Y_{2}$ и $Y_{3}$ являются н.о.р. $N(0,1)$. (Приведённое выше преобразование является частным случаем так называемого преобразования Гельмерта.)

Если $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ имеют многомерное нормальное распределение и попарно независимы, являются ли они взаимно независимыми?

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mu \mathbf{1}_{n}, \mathbf{\Sigma }\right)$, где $\mathbf{\Sigma } = (1-\rho ) \mathbf{I}_{n}+\rho \mathbf{J}_{n}$ и $\rho > -1 /(n-1)$. Когда $\rho = 0$, $\bar{Y}$ и $\sum_{i}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ независимы, по примеру 2.8. Независимы ли они при $\rho \neq 0$?

Дано $\mathbf{Y} \sim N_{3}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, где

при каком значении (значениях) $\rho$ величины $Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}$ и $Y_{1}-Y_{2}-Y_{3}$ статистически независимы?

Покажите, что п.ф.м. для (2.10) равна $\prod_{1}^{n}\left(1-2 t d_{i}\right)^{-1 / 2}$.

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathrm{I}_{n}\right)$ и пусть $\mathbf{A}$ симметрична.

Если $\mathbf{Y} \sim N_{2}\left(0, \mathbf{I}_{2}\right)$, найдите значения $a$ и $b$, такие что

Предположим, что $\mathbf{Y} \sim N_{3}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right)$. Покажите, что

имеет распределение $\chi_{2}^{2}$. Имеет ли какая-либо кратная величина

хи-квадрат распределение для общего $n$?

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(0, \mathrm{I}_{n}\right)$ и пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ симметричны. Покажите, что совместная п.ф.м. $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{A Y}$ и $\mathbf{Y}^{T} \mathbf{B Y}$ равна $\left[\operatorname {det}\left(\mathbf{I}_{n}-2 s \mathbf{A}-2 t B\right)\right]^{-1 / 2}$. Отсюда покажите, что эти две квадратичные формы независимы, если $\mathbf{A B} = 0$.