2a

2.1 Функция плотности

[3/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2a.1

Покажите, что

f(y1,y2)=k−1exp⁡[−12(2y12+y22+2y1y2−22y1−14y2+65)] f\left(y_{1}, y_{2}\right) = k^{-1} \exp \left[-\frac{1}{2}\left(2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}-22 y_{1}-14 y_{2}+65\right)\right]

является плотностью двумерного нормального случайного вектора Y=(Y1,Y2)T\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}\right)^{T}.

?
(a)

Найдите kk.

(b)

Найдите E[Y]\mathbb {E}\left[\mathbf{Y}\right] и Var⁡[Y]\operatorname {Var}\left[\mathbf{Y}\right].

Задача 2a.2

Пусть U\mathbf{U} имеет плотность gg, и пусть Y=A(U+c)\mathbf{Y} = \mathbf{A}(\mathbf{U}+\mathbf{c}), где A\mathbf{A} невырождена. Покажите, что плотность ff величины Y\mathbf{Y} удовлетворяет

f(y)=g(u)/∣det⁡(A)∣ f(\mathbf{y}) = g(\mathbf{u}) /\left|\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)\right|

где y=A(u+c)\mathbf{y} = \mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{c}).

?
Задача 2a.3
?
(a)

Покажите, что матрица 3×33 \times 3

Σ=[1ρρρ1ρρρ1] \mathbf{\Sigma } =\left[\begin{smallmatrix} 1 & \rho & \rho \\ \rho & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{smallmatrix}\right]

является положительно определённой при ρ>−12\rho > -\frac{1}{2}.

(b)

Найдите Σ1/2\mathbf{\Sigma }^{1 / 2}, если

Σ=[1ρρ1] \mathbf{\Sigma } =\left[\begin{smallmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{smallmatrix}\right]