2d

2.4 Распределение квадратичных форм

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2d.1

Покажите, что п.ф.м. для (2.10) равна ∏1n(1−2tdi)−1/2\prod_{1}^{n}\left(1-2 t d_{i}\right)^{-1 / 2}.

?
Задача 2d.2

Пусть Y∼Nn(0,In)\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{0}, \mathrm{I}_{n}\right) и пусть A\mathbf{A} симметрична.

?
(a)

Покажите, что п.ф.м. YTAY\mathbf{Y}^{T} \mathbf{A Y} равна [det⁡(In−2tA)]−1/2\left[\operatorname {det}\left(\mathbf{I}_{n}-2 t \mathbf{A}\right)\right]^{-1 / 2}.

(b)

Если A\mathbf{A} идемпотентна ранга rr, покажите, что п.ф.м. равна (1−2t)−r/2(1-2 t)^{-r / 2}.

(c)

Найдите п.ф.м., если Y∼Nn(0,Σ)\mathbf{Y} \sim N_{n}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma }).

Задача 2d.3

Если Y∼N2(0,I2)\mathbf{Y} \sim N_{2}\left(0, \mathbf{I}_{2}\right), найдите значения aa и bb, такие что

a(Y1−Y2)2+b(Y1+Y2)2∼χ22 a\left(Y_{1}-Y_{2}\right)^{2}+b\left(Y_{1}+Y_{2}\right)^{2} \sim \chi _{2}^{2}
?
Задача 2d.4

Предположим, что Y∼N3(0,In)\mathbf{Y} \sim N_{3}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{n}\right). Покажите, что

13[(Y1−Y2)2+(Y2−Y3)2+(Y3−Y1)2] \frac{1}{3}\left[\left(Y_{1}-Y_{2}\right)^{2}+\left(Y_{2}-Y_{3}\right)^{2}+\left(Y_{3}-Y_{1}\right)^{2}\right]

имеет распределение χ22\chi_{2}^{2}. Имеет ли какая-либо кратная величина

(Y1−Y2)2+(Y2−Y3)2+⋯+(Yn−1−Yn)2+(Yn−Y1)2 \left(Y_{1}-Y_{2}\right)^{2}+\left(Y_{2}-Y_{3}\right)^{2}+\cdots +\left(Y_{n-1}-Y_{n}\right)^{2}+\left(Y_{n}-Y_{1}\right)^{2}

хи-квадрат распределение для общего nn?

?
Задача 2d.5

Пусть Y∼Nn(0,In)\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(0, \mathrm{I}_{n}\right) и пусть A\mathbf{A} и B\mathbf{B} симметричны. Покажите, что совместная п.ф.м. YTAY\mathbf{Y}^{T} \mathbf{A Y} и YTBY\mathbf{Y}^{T} \mathbf{B Y} равна [det⁡(In−2sA−2tB)]−1/2\left[\operatorname {det}\left(\mathbf{I}_{n}-2 s \mathbf{A}-2 t B\right)\right]^{-1 / 2}. Отсюда покажите, что эти две квадратичные формы независимы, если AB=0\mathbf{A B} = 0.

?