2.3 Статистическая независимость

Если $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ имеют многомерное нормальное распределение и попарно независимы, являются ли они взаимно независимыми?

Пусть $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mu \mathbf{1}_{n}, \mathbf{\Sigma }\right)$, где $\mathbf{\Sigma } = (1-\rho ) \mathbf{I}_{n}+\rho \mathbf{J}_{n}$ и $\rho > -1 /(n-1)$. Когда $\rho = 0$, $\bar{Y}$ и $\sum_{i}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ независимы, по примеру 2.8. Независимы ли они при $\rho \neq 0$?

Дано $\mathbf{Y} \sim N_{3}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, где

при каком значении (значениях) $\rho$ величины $Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}$ и $Y_{1}-Y_{2}-Y_{3}$ статистически независимы?