2.2 Производящие функции моментов

Найдите производящую функцию моментов двумерного нормального распределения из примера 2.2.

Если $\mathbf{Y} \sim N_{n}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, покажите, что $Y_{i} \sim N\left(\mu_{i}, \sigma_{i i}\right)$.

Предположим, что $\mathbf{Y} \sim N_{3}(\mathbf{\mu }, \mathbf{\Sigma })$, где

Найдите совместное распределение $Z_{1} = Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}$ и $Z_{2} = Y_{1}-Y_{2}$.

Дано $\mathbf{Y} \sim N_{n}\left(\mathbf{\mu }, \mathbf{I}_{n}\right)$, найдите совместную плотность $\mathbf{a}^{T} \mathbf{Y}$ и $\mathbf{b}^{T} \mathbf{Y}$, где $\mathbf{a}^{T} \mathbf{b} = 0$, и, следовательно, покажите, что $\mathbf{a}^{T} \mathbf{Y}$ и $\mathbf{b}^{T} \mathbf{Y}$ независимы.

Пусть $\left(X_{i}, Y_{i}\right), i = 1,2, \ldots , n$, — случайная выборка из двумерного нормального распределения. Найдите совместное распределение $(\bar{X}, \bar{Y})$.

Если $Y_{1}$ и $Y_{2}$ — случайные величины такие, что $Y_{1}+Y_{2}$ и $Y_{1}-Y_{2}$ являются независимыми случайными величинами $N(0,1)$, покажите, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ имеют двумерное нормальное распределение. Найдите среднее и матрицу дисперсий $\mathbf{Y} = \left(Y_{1}, Y_{2}\right)^{T}$.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ имеют совместную плотность

Покажите, что $X_{1}$ и $X_{2}$ имеют маргинальные распределения $N(0,1)$.

Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}$ независимо распределены как $N(0,1)$. Вычислите п.ф.м. случайного вектора

и, следовательно, покажите, что $\bar{Y}$ независима от $\sum_{i}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ — н.о.р. $N(0,1)$. Пусть

Покажите, что $Y_{1}, Y_{2}$ и $Y_{3}$ являются н.о.р. $N(0,1)$. (Приведённое выше преобразование является частным случаем так называемого преобразования Гельмерта.)