Топологические пространства: три фундаментальные теоремы

Пусть $C$ — замкнутое подмножество метрического пространства ($X, \rho$). Покажите, что функция расстояния до $C$, $\operatorname {dist}_{C}$, непрерывна, и $\operatorname {dist}_{C}(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит $C$.

Приведите пример непрерывной вещественнозначной функции на открытом интервале $(0,1)$, которая не продолжается до непрерывной функции на $\mathbb {R}$. Противоречит ли это теореме Титце о продолжении?

Выведите лемму Урысона как следствие теоремы Титце о продолжении.

Сформулируйте и докажите вариант теоремы Титце о продолжении для функций со значениями в $\mathbb {R}^{n}$.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает свойством, что каждая непрерывная ограниченная вещественнозначная функция на замкнутом подмножестве имеет непрерывное продолжение на всё $X$. Покажите, что если $X$ тихоновское, то оно нормально.

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — нормальное топологическое пространство, а $\mathcal{F}$ — совокупность непрерывных вещественнозначных функций на $X$. Покажите, что $\mathcal{T}$ является слабой топологией, индуцированной $\mathcal{F}$.

Покажите, что функция $\rho$, определённая в доказательстве теоремы Урысона о метризуемости, является метрикой, задающей ту же топологию, что и данная топология.

Пусть $X$ — нормальное топологическое пространство, $F$ — замкнутое подмножество $X$, а $f$ — непрерывная, не обязательно ограниченная, вещественнозначная функция на $F$. Тогда $f$ имеет непрерывное продолжение до вещественнозначной функции $\bar{f}$ на всём $X$. Докажите это следующим образом:

Покажите, что отображение $f$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда существует предбаза $\mathcal{S}$ для топологии на $Y$ такая, что прообраз при $f$ каждого множества из $\mathcal{S}$ открыт в $X$. Используйте это, чтобы показать, что если $Y$ — замкнутый ограниченный интервал $[a, b]$, то $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого вещественного числа $c \in (a, b)$ множества $\left\{ x \in X \mid f(x) < c\right\}$ и $\left\{ x \in X \mid f(x) > c\right\}$ открыты.

Используйте предыдущую задачу для доказательства леммы 1.

Лемма 1: Пусть $X$ — топологическое пространство. Для $\Lambda$, плотного подмножества открытого ограниченного интервала вещественных чисел $(a, b)$, пусть $\left\{ O_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — нормально возрастающая совокупность открытых подмножеств $X$. Определим функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, положив $f = b$ на $X \sim \bigcup_{\lambda \in \Lambda } O_{\lambda }$ и иначе полагая $f(x) = \inf \left\{ \lambda \in \Lambda \mid x \in O_{\lambda }\right\}$. Тогда $f: X \rightarrow \left[a, b\right]$ непрерывна.

Покажите, что произведение произвольной совокупности тихоновских пространств с топологией произведения также является тихоновским.

Покажите, что произведение произвольной совокупности хаусдорфовых пространств с топологией произведения также является хаусдорфовым.

Покажите, что топология произведения на $n$-кратном произведении $\mathbb {R}$ совпадает с метрической топологией на $\mathbb {R}^{n}$, индуцированной евклидовой метрикой.

Пусть ($X, \rho_{1}$) и ($Y, \rho_{2}$) — метрические пространства. Покажите, что топология произведения на $X \times Y$, где $X$ и $Y$ имеют топологии, индуцированные их соответствующими метриками, совпадает с топологией, индуцированной метрикой произведения

Покажите, что если $X$ — метрическое пространство с метрикой $\rho$, то

также является метрикой на $X$ и индуцирует ту же топологию, что и метрика $\rho$.

Рассмотрим счётную совокупность метрических пространств $\left\{ \left(X_{n}, \rho_{n}\right)\right\}_{n = 1}^{\infty }$. Для декартова произведения этих множеств $X = \prod_{n = 1}^{\infty } X_{n}$ определим $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ по формуле

Используйте предыдущую задачу, чтобы показать, что $\rho$ является метрикой на $X = \prod_{n = 1}^{\infty } X_{n}$, индуцирующей топологию произведения на $X$, где каждое $X_{n}$ имеет топологию, индуцированную метрикой $\rho_{n}$.

Рассмотрим множество $X = \mathbb {R}^{\mathbb {R}}$ с топологией произведения. Пусть $E$ — подмножество $X$, состоящее из функций, принимающих значение 0 на счётном множестве и значение 1 всюду в остальных точках. Пусть $f_{0}$ — функция, тождественно равная нулю. Тогда ясно, что $f_{0}$ является точкой прикосновения для $E$. Но не существует последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $E$, сходящейся к $f_{0}$, поскольку для любой последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $E$ найдётся такое $x_{0} \in \mathbb {R}$, что $f_{n}\left(x_{0}\right) = 1$ для всех $n$, и, значит, последовательность $\left\{ f_{n}\left(x_{0}\right)\right\}$ не сходится к $f_{0}\left(x_{0}\right)$. Это показывает, в частности, что $X = \mathbb {R}^{\mathbb {R}}$ не является первым счётным и, следовательно, не метризуемо.

Пусть $X$ обозначает дискретное топологическое пространство с двумя элементами. Покажите, что $X^{N}$ гомеоморфно канторову множеству.

Используя теорему Тихонова о произведении и компактность каждого замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел, докажите, что любое замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ компактно.

Приведите прямое доказательство утверждения о том, что если $X$ компактно, а $I$ — замкнутый ограниченный интервал, то $X \times I$ компактно.

Докажите, что произведение счётной совокупности секвенциально компактных топологических пространств секвенциально компактно.

Произведение $I^{A}$ единичных интервалов называется (обобщённым) кубом. Докажите, что каждое компактное хаусдорфово пространство $X$ гомеоморфно замкнутому подмножеству некоторого куба. (Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на $X$ со значениями в $[0,1]$. Пусть $Q = \Pi_{f \in \mathcal{F}} I_{f}$. Тогда, поскольку $X$ нормально и компактно, отображение $g$ пространства $X$ в $Q$, переводящее $x$ в точку, чья $f$-я координата равна $f(x)$, инъективно, непрерывно и имеет замкнутый образ.)

Пусть $Q = I^{A}$ — куб, и пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $Q$. Тогда для заданного $\epsilon > 0$ существует непрерывная вещественнозначная функция $g$ на $Q$, для которой $\left|f-g\right| < \epsilon$ и $g$ является функцией лишь конечного числа координат.

Предположим, что $X$ — топологическое пространство, для которого существует семейство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, разделяющее точки $X$. Покажите, что $X$ является хаусдорфовым.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и $\mathcal{A} \subseteq C(X)$ — алгебра, содержащая постоянные функции. Покажите, что $\mathcal{A}$ плотна в $C(X)$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ разделяет точки $X$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном пространстве $X$, содержащая постоянные функции. Пусть $f \in C(X)$ обладает тем свойством, что для некоторой постоянной функции $c$ и вещественного числа $\alpha$ функция $\alpha (f+c)$ принадлежит $\overline{\mathcal{A}}$. Покажите, что $f$ также принадлежит $\overline{\mathcal{A}}$.

Для $f, g \in C[a, b]$ покажите, что $f = g$ тогда и только тогда, когда $\int_{a}^{b} x^{n} f(x) d x = \int_{a}^{b} x^{n} g(x) d x$ для всех $n$.

Для $f \in C[a, b]$ и $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n}$, для которых

Для $f \in C[0, \pi ]$ и $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n}$, для которых

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, периодическая с периодом $2 \pi$. Для $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}, b_{1}, \ldots , b_{n}$ такие, что

Пусть $X$ и $Y$ — компактные хаусдорфовы пространства, и $f$ принадлежит $C(X \times Y)$. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существуют функции $f_{1}, \ldots , f_{n}$ из $C(X)$ и $g_{1}, \ldots , g_{n}$ из $C(Y)$ такие, что

Вместо использования теоремы Вейерштрасса об аппроксимации при доказательстве теоремы Стоуна–Вейерштрасса покажите, что существуют натуральные числа $m$ и $n$, для которых многочлен $p(x) = 1-\left(1-x^{n}\right)^{m}$ удовлетворяет (14).

Пусть $\mathcal{A}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$, разделяющее точки $X$. Покажите, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X$ может быть равномерно аппроксимирована сколь угодно точно многочленом от конечного числа функций из $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Покажите, что замыкание $\mathcal{A}, \overline{\mathcal{A}}$, также является алгеброй.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$, разделяющая точки. Покажите, что либо $\overline{\mathcal{A}} = C(X)$, либо существует точка $x_{0} \in X$, для которой $\overline{\mathcal{A}} = \left\{ f \in C(X) \mid f\left(x_{0}\right) = 0\right\}$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных функций на $X$, разделяющая точки и содержащая постоянные функции.