Лемма Урысона и теорема Титце о продолжении

Пусть $C$ — замкнутое подмножество метрического пространства ($X, \rho$). Покажите, что функция расстояния до $C$, $\operatorname {dist}_{C}$, непрерывна, и $\operatorname {dist}_{C}(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит $C$.

Приведите пример непрерывной вещественнозначной функции на открытом интервале $(0,1)$, которая не продолжается до непрерывной функции на $\mathbb {R}$. Противоречит ли это теореме Титце о продолжении?

Выведите лемму Урысона как следствие теоремы Титце о продолжении.

Сформулируйте и докажите вариант теоремы Титце о продолжении для функций со значениями в $\mathbb {R}^{n}$.

Предположим, что топологическое пространство $X$ обладает свойством, что каждая непрерывная ограниченная вещественнозначная функция на замкнутом подмножестве имеет непрерывное продолжение на всё $X$. Покажите, что если $X$ тихоновское, то оно нормально.

Пусть ($X, \mathcal{T}$) — нормальное топологическое пространство, а $\mathcal{F}$ — совокупность непрерывных вещественнозначных функций на $X$. Покажите, что $\mathcal{T}$ является слабой топологией, индуцированной $\mathcal{F}$.

Покажите, что функция $\rho$, определённая в доказательстве теоремы Урысона о метризуемости, является метрикой, задающей ту же топологию, что и данная топология.

Пусть $X$ — нормальное топологическое пространство, $F$ — замкнутое подмножество $X$, а $f$ — непрерывная, не обязательно ограниченная, вещественнозначная функция на $F$. Тогда $f$ имеет непрерывное продолжение до вещественнозначной функции $\bar{f}$ на всём $X$. Докажите это следующим образом:

Покажите, что отображение $f$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда существует предбаза $\mathcal{S}$ для топологии на $Y$ такая, что прообраз при $f$ каждого множества из $\mathcal{S}$ открыт в $X$. Используйте это, чтобы показать, что если $Y$ — замкнутый ограниченный интервал $[a, b]$, то $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого вещественного числа $c \in (a, b)$ множества $\left\{ x \in X \mid f(x) < c\right\}$ и $\left\{ x \in X \mid f(x) > c\right\}$ открыты.

Используйте предыдущую задачу для доказательства леммы 1.

Лемма 1: Пусть $X$ — топологическое пространство. Для $\Lambda$, плотного подмножества открытого ограниченного интервала вещественных чисел $(a, b)$, пусть $\left\{ O_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — нормально возрастающая совокупность открытых подмножеств $X$. Определим функцию $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, положив $f = b$ на $X \sim \bigcup_{\lambda \in \Lambda } O_{\lambda }$ и иначе полагая $f(x) = \inf \left\{ \lambda \in \Lambda \mid x \in O_{\lambda }\right\}$. Тогда $f: X \rightarrow \left[a, b\right]$ непрерывна.