Теорема Тихонова о произведении

Покажите, что произведение произвольной совокупности тихоновских пространств с топологией произведения также является тихоновским.

Покажите, что произведение произвольной совокупности хаусдорфовых пространств с топологией произведения также является хаусдорфовым.

Покажите, что топология произведения на $n$-кратном произведении $\mathbb {R}$ совпадает с метрической топологией на $\mathbb {R}^{n}$, индуцированной евклидовой метрикой.

Пусть ($X, \rho_{1}$) и ($Y, \rho_{2}$) — метрические пространства. Покажите, что топология произведения на $X \times Y$, где $X$ и $Y$ имеют топологии, индуцированные их соответствующими метриками, совпадает с топологией, индуцированной метрикой произведения

Покажите, что если $X$ — метрическое пространство с метрикой $\rho$, то

также является метрикой на $X$ и индуцирует ту же топологию, что и метрика $\rho$.

Рассмотрим счётную совокупность метрических пространств $\left\{ \left(X_{n}, \rho_{n}\right)\right\}_{n = 1}^{\infty }$. Для декартова произведения этих множеств $X = \prod_{n = 1}^{\infty } X_{n}$ определим $\rho : X \times X \rightarrow \mathbb {R}$ по формуле

Используйте предыдущую задачу, чтобы показать, что $\rho$ является метрикой на $X = \prod_{n = 1}^{\infty } X_{n}$, индуцирующей топологию произведения на $X$, где каждое $X_{n}$ имеет топологию, индуцированную метрикой $\rho_{n}$.

Рассмотрим множество $X = \mathbb {R}^{\mathbb {R}}$ с топологией произведения. Пусть $E$ — подмножество $X$, состоящее из функций, принимающих значение 0 на счётном множестве и значение 1 всюду в остальных точках. Пусть $f_{0}$ — функция, тождественно равная нулю. Тогда ясно, что $f_{0}$ является точкой прикосновения для $E$. Но не существует последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $E$, сходящейся к $f_{0}$, поскольку для любой последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $E$ найдётся такое $x_{0} \in \mathbb {R}$, что $f_{n}\left(x_{0}\right) = 1$ для всех $n$, и, значит, последовательность $\left\{ f_{n}\left(x_{0}\right)\right\}$ не сходится к $f_{0}\left(x_{0}\right)$. Это показывает, в частности, что $X = \mathbb {R}^{\mathbb {R}}$ не является первым счётным и, следовательно, не метризуемо.

Пусть $X$ обозначает дискретное топологическое пространство с двумя элементами. Покажите, что $X^{N}$ гомеоморфно канторову множеству.

Используя теорему Тихонова о произведении и компактность каждого замкнутого ограниченного интервала вещественных чисел, докажите, что любое замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ компактно.

Приведите прямое доказательство утверждения о том, что если $X$ компактно, а $I$ — замкнутый ограниченный интервал, то $X \times I$ компактно.

Докажите, что произведение счётной совокупности секвенциально компактных топологических пространств секвенциально компактно.

Произведение $I^{A}$ единичных интервалов называется (обобщённым) кубом. Докажите, что каждое компактное хаусдорфово пространство $X$ гомеоморфно замкнутому подмножеству некоторого куба. (Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на $X$ со значениями в $[0,1]$. Пусть $Q = \Pi_{f \in \mathcal{F}} I_{f}$. Тогда, поскольку $X$ нормально и компактно, отображение $g$ пространства $X$ в $Q$, переводящее $x$ в точку, чья $f$-я координата равна $f(x)$, инъективно, непрерывно и имеет замкнутый образ.)

Пусть $Q = I^{A}$ — куб, и пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $Q$. Тогда для заданного $\epsilon > 0$ существует непрерывная вещественнозначная функция $g$ на $Q$, для которой $\left|f-g\right| < \epsilon$ и $g$ является функцией лишь конечного числа координат.