Теорема Стоуна-Вейерштрасса

Предположим, что $X$ — топологическое пространство, для которого существует семейство непрерывных вещественнозначных функций на $X$, разделяющее точки $X$. Покажите, что $X$ является хаусдорфовым.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и $\mathcal{A} \subseteq C(X)$ — алгебра, содержащая постоянные функции. Покажите, что $\mathcal{A}$ плотна в $C(X)$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ разделяет точки $X$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном пространстве $X$, содержащая постоянные функции. Пусть $f \in C(X)$ обладает тем свойством, что для некоторой постоянной функции $c$ и вещественного числа $\alpha$ функция $\alpha (f+c)$ принадлежит $\overline{\mathcal{A}}$. Покажите, что $f$ также принадлежит $\overline{\mathcal{A}}$.

Для $f, g \in C[a, b]$ покажите, что $f = g$ тогда и только тогда, когда $\int_{a}^{b} x^{n} f(x) d x = \int_{a}^{b} x^{n} g(x) d x$ для всех $n$.

Для $f \in C[a, b]$ и $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n}$, для которых

Для $f \in C[0, \pi ]$ и $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n}$, для которых

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, периодическая с периодом $2 \pi$. Для $\epsilon > 0$ покажите, что существуют вещественные числа $c_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}, b_{1}, \ldots , b_{n}$ такие, что

Пусть $X$ и $Y$ — компактные хаусдорфовы пространства, и $f$ принадлежит $C(X \times Y)$. Покажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существуют функции $f_{1}, \ldots , f_{n}$ из $C(X)$ и $g_{1}, \ldots , g_{n}$ из $C(Y)$ такие, что

Вместо использования теоремы Вейерштрасса об аппроксимации при доказательстве теоремы Стоуна–Вейерштрасса покажите, что существуют натуральные числа $m$ и $n$, для которых многочлен $p(x) = 1-\left(1-x^{n}\right)^{m}$ удовлетворяет (14).

Пусть $\mathcal{A}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$, разделяющее точки $X$. Покажите, что всякая непрерывная вещественнозначная функция на $X$ может быть равномерно аппроксимирована сколь угодно точно многочленом от конечного числа функций из $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$. Покажите, что замыкание $\mathcal{A}, \overline{\mathcal{A}}$, также является алгеброй.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$, разделяющая точки. Покажите, что либо $\overline{\mathcal{A}} = C(X)$, либо существует точка $x_{0} \in X$, для которой $\overline{\mathcal{A}} = \left\{ f \in C(X) \mid f\left(x_{0}\right) = 0\right\}$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и $\mathcal{A}$ — алгебра непрерывных функций на $X$, разделяющая точки и содержащая постоянные функции.