Общие пространства с мерой: их свойства и построение

Определим $\mu : 2^{\mathbb {N}} \rightarrow [0, \infty )$ формулой $\mu (E) = \sum_{n \in E} 1 / 2^{n}$. Покажите, что это конечная мера.

Для каждого $k$ пусть $\left(X, \mathcal{M}, \mu_{k}\right)$ — пространство с мерой, и предположим, что существует $c \geq 0$, для которого $\mu_{k}(X) \leq c$ для всех $k$. Покажите, что $\mu = \sum_{k = 1}^{\infty } \frac{\mu_{k}}{2^{k}}$ также является мерой.

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра, а функция множества $\mu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ конечно аддитивна. Докажите, что $\mu$ является мерой тогда и только тогда, когда для любого возрастающего семейства множеств $\left\{ A_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ из $\mathcal{M}$ выполнено (1).

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное пространство с мерой. Симметрическая разность $A \Delta B$ двух измеримых множеств $A$ и $B$ определяется формулой

Приведите два измеримых множества, симметрическая разность которых имеет меру нуль, и докажите следующее неравенство треугольника на $\mathcal{M}$: для измеримых множеств $A, B$ и $C$,

$\sigma$-алгебра $\mathcal{M}$ с метрикой $\rho (A, B) = \mu (A \Delta B)$ называется метрическим пространством Никодима.

Пусть $\mathcal{M}$ — совокупность подмножеств $X$, которые либо счётны, либо имеют счётное дополнение в $X$. Покажите, что $\mathcal{M}$ является $\sigma$-алгеброй. Для $E \in \mathcal{M}$ определим $\mu (E) = 0$, если $E$ счётно, и $\mu (E) = 1$, если $E$ имеет счётное дополнение. Покажите, что $\mu$ является мерой. Полно ли это пространство с мерой?

Пусть $\mathcal{S}$ — произвольная совокупность подмножеств $X$, и определим $\mathcal{M}$ как пересечение всех $\sigma$-алгебр подмножеств $X$, содержащих $\mathcal{S}$. Покажите, что $\mathcal{M}$ является $\sigma$-алгеброй и притом наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей $\mathcal{S}$, в том смысле, что она содержится в любой $\sigma$-алгебре, содержащей $\mathcal{S}$. Для $X = \mathbb {R}$ найдите наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую все одноточечные множества.

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра. Проверьте следующее:

Покажите, что при построении лебеговой меры на $\mathbb {R}$ внешняя мера не меняется, если покрытия открытыми ограниченными интервалами заменить покрытиями общими ограниченными интервалами.

Пусть $\mu^{*}: 2^{X} \rightarrow [0, \infty ]$ — внешняя мера. Пусть $A \subseteq X$, $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётное дизъюнктное семейство измеримых множеств, и $E = \bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k}$. Покажите, что

Покажите, что любая мера, порождённая внешней мерой, полна.

Определим $\mu : 2^{\mathbb {R}} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $\mu (A)$ равным числу целых чисел в $A$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.

Пусть $S \subseteq 2^{X}$, а $\mu^{*}: 2^{X} \rightarrow [0, \infty ]$ — внешняя мера, порождённая $\mu : S \rightarrow [0, \infty ]$. Покажите, что для того чтобы множество $A \subseteq X$ было измеримо относительно $\mu^{*}$, достаточно проверить, что

а не для всех подмножеств $E$ множества $X$. Это было определение измеримого множества, использованное Лебегом для функции длины, определённой на совокупности открытых ограниченных интервалов в $\mathbb {R}$.

Покажите, что неотрицательная функция множества на $\sigma$-алгебре является мерой тогда и только тогда, когда она является предмерой.

Пусть $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел, а $\mathcal{S}$ — совокупность всех конечных объединений интервалов вида $(a, b] \cap \mathbb {Q}$, где $a, b \in \mathbb {Q}$ и $a \leq b$. Определим $\mu (a, b] = \infty$, если $a < b$, и $\mu (\emptyset ) = 0$. Покажите, что $\mathcal{S}$ замкнута относительно относительных дополнений, и $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ]$ является предмерой. Затем покажите, что продолжение $\mu$ на наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую $\mathcal{S}$, не единственно.

Проверьте утверждения, сделанные в первом и втором примере этого раздела.

Покажите, что три совокупности множеств из третьего примера этого раздела являются полукольцами.

Пусть $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$, а $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ]$ — мера. Пусть $\bar{\mu }: \overline{\mathcal{M}} \rightarrow [0, \infty ]$ — мера Каратеодори, порождённая $\mu$. Покажите, что $\mathcal{S}$ является подсовокупностью $\overline{\mathcal{M}}$ и может быть собственной подсовокупностью.

Покажите, что мера Лебега на $\mathbb {R}$ является продолжением Каратеодори предмеры лебеговой меры на полукольце борелевских множеств.