Меры, порождённые внешней мерой

Покажите, что при построении лебеговой меры на $\mathbb {R}$ внешняя мера не меняется, если покрытия открытыми ограниченными интервалами заменить покрытиями общими ограниченными интервалами.

Пусть $\mu^{*}: 2^{X} \rightarrow [0, \infty ]$ — внешняя мера. Пусть $A \subseteq X$, $\left\{ E_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — счётное дизъюнктное семейство измеримых множеств, и $E = \bigcup_{k = 1}^{\infty } E_{k}$. Покажите, что

Покажите, что любая мера, порождённая внешней мерой, полна.

Определим $\mu : 2^{\mathbb {R}} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $\mu (A)$ равным числу целых чисел в $A$. Определите внешнюю меру $\mu^{*}$, порождённую $\mu$, и $\sigma$-алгебру измеримых множеств.