Измеримые множества и пространства с мерой

Определим $\mu : 2^{\mathbb {N}} \rightarrow [0, \infty )$ формулой $\mu (E) = \sum_{n \in E} 1 / 2^{n}$. Покажите, что это конечная мера.

Для каждого $k$ пусть $\left(X, \mathcal{M}, \mu_{k}\right)$ — пространство с мерой, и предположим, что существует $c \geq 0$, для которого $\mu_{k}(X) \leq c$ для всех $k$. Покажите, что $\mu = \sum_{k = 1}^{\infty } \frac{\mu_{k}}{2^{k}}$ также является мерой.

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра, а функция множества $\mu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ конечно аддитивна. Докажите, что $\mu$ является мерой тогда и только тогда, когда для любого возрастающего семейства множеств $\left\{ A_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ из $\mathcal{M}$ выполнено (1).

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное пространство с мерой. Симметрическая разность $A \Delta B$ двух измеримых множеств $A$ и $B$ определяется формулой

Приведите два измеримых множества, симметрическая разность которых имеет меру нуль, и докажите следующее неравенство треугольника на $\mathcal{M}$: для измеримых множеств $A, B$ и $C$,

$\sigma$-алгебра $\mathcal{M}$ с метрикой $\rho (A, B) = \mu (A \Delta B)$ называется метрическим пространством Никодима.

Пусть $\mathcal{M}$ — совокупность подмножеств $X$, которые либо счётны, либо имеют счётное дополнение в $X$. Покажите, что $\mathcal{M}$ является $\sigma$-алгеброй. Для $E \in \mathcal{M}$ определим $\mu (E) = 0$, если $E$ счётно, и $\mu (E) = 1$, если $E$ имеет счётное дополнение. Покажите, что $\mu$ является мерой. Полно ли это пространство с мерой?

Пусть $\mathcal{S}$ — произвольная совокупность подмножеств $X$, и определим $\mathcal{M}$ как пересечение всех $\sigma$-алгебр подмножеств $X$, содержащих $\mathcal{S}$. Покажите, что $\mathcal{M}$ является $\sigma$-алгеброй и притом наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей $\mathcal{S}$, в том смысле, что она содержится в любой $\sigma$-алгебре, содержащей $\mathcal{S}$. Для $X = \mathbb {R}$ найдите наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую все одноточечные множества.

Пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра. Проверьте следующее: