Теорема Каратеодори-Хана

Пусть $S \subseteq 2^{X}$, а $\mu^{*}: 2^{X} \rightarrow [0, \infty ]$ — внешняя мера, порождённая $\mu : S \rightarrow [0, \infty ]$. Покажите, что для того чтобы множество $A \subseteq X$ было измеримо относительно $\mu^{*}$, достаточно проверить, что

а не для всех подмножеств $E$ множества $X$. Это было определение измеримого множества, использованное Лебегом для функции длины, определённой на совокупности открытых ограниченных интервалов в $\mathbb {R}$.

Покажите, что неотрицательная функция множества на $\sigma$-алгебре является мерой тогда и только тогда, когда она является предмерой.

Пусть $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел, а $\mathcal{S}$ — совокупность всех конечных объединений интервалов вида $(a, b] \cap \mathbb {Q}$, где $a, b \in \mathbb {Q}$ и $a \leq b$. Определим $\mu (a, b] = \infty$, если $a < b$, и $\mu (\emptyset ) = 0$. Покажите, что $\mathcal{S}$ замкнута относительно относительных дополнений, и $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ]$ является предмерой. Затем покажите, что продолжение $\mu$ на наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую $\mathcal{S}$, не единственно.

Проверьте утверждения, сделанные в первом и втором примере этого раздела.

Покажите, что три совокупности множеств из третьего примера этого раздела являются полукольцами.

Пусть $\mathcal{S}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$, а $\mu : \mathcal{S} \rightarrow [0, \infty ]$ — мера. Пусть $\bar{\mu }: \overline{\mathcal{M}} \rightarrow [0, \infty ]$ — мера Каратеодори, порождённая $\mu$. Покажите, что $\mathcal{S}$ является подсовокупностью $\overline{\mathcal{M}}$ и может быть собственной подсовокупностью.

Покажите, что мера Лебега на $\mathbb {R}$ является продолжением Каратеодори предмеры лебеговой меры на полукольце борелевских множеств.