Пространства $L^{p}$: полнота и аппроксимация

Если $K \subseteq \mathbb {R}$ компактно, покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\max }$ является нормой на $C(K)$.

Для $f \in C[a, b]$ определим $\left\| f\right\|_{1} = \int_{a}^{b}\left|f\right| d m$. Покажите, что это норма на $C[a, b]$. Также покажите, что существует число $c \geq 0$, для которого

но не существует $c \geq 0$, для которого

Пусть $X$ — линейное пространство всех многочленов с действительными коэффициентами, определённых на $\mathbb {R}$. Для многочлена $p$ определим $\left\| p\right\|$ как сумму абсолютных значений коэффициентов. Является ли это нормой?

Для $f \in L^{1}[a, b]$ определим $\left\| f\right\| = \int_{a}^{b} x^{2}\left|f(x)\right| d x$. Покажите, что это норма на $L^{1}[a, b]$.

Для $f \in L^{\infty }(E)$ покажите, что $\left\| f\right\|_{\infty }$ является наименьшей существенной верхней гранью для $f$, и

Для $0 < p < 1$ определим $L^{p}(E)$ как совокупность измеримых функций $f: E \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, для которых $\int_{E}\left|f\right|^{p} d m < \infty$. Покажите, что $L^{p}(E)$ является линейным пространством.

Покажите, что в нормированном линейном пространстве сходящаяся последовательность ограничена.

Сформулируйте и докажите свойство линейности сходящихся последовательностей в нормированном линейном пространстве.

Покажите, что если неравенство Гёльдера выполняется для нормированных функций, то оно выполняется в общем случае.

Для $p_{1} < p_{2}$ и $E = (0,1)$ определим $f(x) = x^{\alpha }$ для $0 < x < 1$, где $-1 / p_{1} < \alpha \leq -1 / p_{2}$. Покажите, что $f \in L^{p_{1}}(E) \sim L^{p_{2}}(E)$.

Определим $f(x) = \frac{x^{-1 / 2}}{1+\left|\ln x\right|}$ для $x > 0$. Проверьте, что $f \in L^{p}(0, \infty )$ тогда и только тогда, когда $p = 2$.

Определим $f(t) = t$ для $0 \leq t \leq 1$. Зафиксируем $1 \leq p < \infty$. Найдите двойственную функцию для $f \in L^{p}[0,1]$. Заметьте, что она зависит от $p$.

Определим $f(t) = t$ для $0 \leq t \leq 1$. Тогда $f \in L^{\infty }[0,1]$. Покажите, что не существует функции $f^{*} \in L^{1}[0,1]$, для которой

Противоречит ли это (3)?

Пусть $f, g \in L^{2}(E)$. Покажите, что для любого числа $\lambda$,

и выведите отсюда, а также из формулы для квадратного уравнения, неравенство Коши-Шварца напрямую.

Для $1 < p < \infty$, $q$ — сопряжённого показателя к $p$, и $f \in L^{p}(E)$, покажите, что если $A \subseteq E$ имеет конечную меру, то

Используйте это, чтобы заключить, что ограниченное подмножество $L^{p}(E)$ равномерно интегрируемо.

Покажите, что в неравенстве Юнга равенство достигается тогда и только тогда, когда $a^{p} = b^{q}$.

Покажите, что в неравенстве Гёльдера равенство достигается тогда и только тогда, когда существуют константы $\alpha$ и $\beta$, не равные нулю одновременно, для которых

Для $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(E)$ покажите, что для каждого $\lambda > 0$,

Для $1 \leq p < \infty$ предположим, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p}(E)$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ по мере, и, следовательно, существует подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, сходящаяся поточечно почти всюду на $E$ к $f$.

Предположим, что $m(E) < \infty$. Для $f \in L^{\infty }(E)$ покажите, что $\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\|_{p} = \left\| f\right\|_{\infty }$.

Для $1 \leq p < \infty$, $q$ — сопряжённого показателя к $p$, и $f \in L^{p}(E)$ покажите, что

Для $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(E)$ покажите, что $f = 0$ тогда и только тогда, когда $\int_{E} f \cdot \psi d m = 0$ для каждой финитно поддерживаемой простой функции $\psi : E \rightarrow \mathbb {R}$.

Для $1 \leq p < \infty$, $q$ — сопряжённого показателя к $p$, и $f \in L^{p}(E)$ покажите, что $f = 0$ тогда и только тогда, когда $\int_{E} f \cdot g d m = 0$ для $g \in L^{q}(E)$.

Для $1 \leq p < \infty$ найдите значения параметра $\lambda$, для которых

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, а $q$ — сопряжённый показатель к $p$. Если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p}(E)$ и $\left\{ g_{n}\right\} \rightarrow g$ в $L^{q}(E)$, покажите, что

Предположим, что $m(E) < \infty$ и $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq \infty$. Покажите, что если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p_{2}}(E)$, то $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p_{1}}(E)$.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся поточечно почти всюду на $E$ к $f$. Для $1 \leq p < \infty$ предположим, что существует функция $g$ в $L^{p}(E)$, такая что для всех $n$, $\left|f_{n}\right| \leq g$ почти всюду на $E$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p}(E)$.

Для $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(\mathbb {R})$ покажите, что $\left\{ f \cdot \chi_{[-n, n]}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p}(\mathbb {R})$.

Предположим, что $m(E) < \infty$ и $1 \leq p < \infty$. Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся поточечно почти всюду на $E$ к $f$. Для $1 \leq p < \infty$ покажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ в $L^{p}(E)$, если существует $\theta > 0$, для которого $\left\{ f_{n}\right\}$ является ограниченным подмножеством $L^{p+\theta }(E)$.

Для $1 \leq p < \infty$ покажите, что если абсолютно непрерывная функция $f$ на $[a, b]$ является неопределённым интегралом функции из $L^{p}[a, b]$, то существует $M > 0$, такое что для любого разбиения $\left\{ x_{0}, \ldots , x_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$,

Докажите, что $L^{\infty }(E)$ полно.

Приведите пример фундаментальной последовательности действительных чисел, которая не является быстро фундаментальной.

Покажите, что нормированное линейное пространство полно тогда и только тогда, когда каждая быстро фундаментальная последовательность сходится.

Для каждого $n$ определим $f_{n}(x) = x^{n}$ для $0 \leq x \leq 1$. Является ли $\left\{ f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ быстро фундаментальной в $C[0,1]$? Для $1 \leq p < \infty$, является ли $\left\{ f_{n}\right\}$ быстро фундаментальной в $L^{p}([0,1])$?

Рассмотрим линейное пространство многочленов, ограниченных на $[a, b]$, нормированное максимум-нормой. Полно ли это пространство?

Пусть $m(E) < \infty$ и $1 \leq p_{1} < p_{2} < \infty$. Рассмотрим линейное пространство $L^{p_{2}}(E)$, нормированное нормой $\left\| \cdot \right\|_{p_{1}}$. Является ли это нормированное линейное пространство полным?

Подпространство $X_{0}$ нормированного линейного пространства $X$ называется замкнутым, если предел сходящейся последовательности из $X_{0}$ также принадлежит $X_{0}$. Предположим, что $X$ полно. Покажите, что подпространство $X_{0}$ пространства $X$ с индуцированной из $X$ нормой полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Пусть $A \subseteq B \subseteq X$. Покажите, что $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда каждый $f \in B$ является пределом последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из $A$.

Пусть $\mathcal{F}$ — плотное подмножество $X$, и предположим, что $\mathcal{S} \subseteq X$ обладает свойством: каждый $f \in \mathcal{F}$ является пределом последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из $\mathcal{S}$. Покажите, что $\mathcal{S}$ плотно в $X$. В частности, покажите, что если $\mathcal{S}$ счётно, то $X$ сепарабельно.

Покажите, что для $1 \leq p < \infty$, $\ell^{p}$ сепарабельно, а $\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

Покажите, что подпространство простых функций плотно в $L^{\infty }(E)$.

Покажите, что $C[a, b]$ не является плотным подпространством $L^{\infty }[a, b]$.

Пусть $1 \leq p < \infty$, $q$ — сопряжённый показатель к $p$, а $\mathcal{S}$ — плотное подмножество $L^{q}(E)$. Покажите, что если $g \in L^{p}(E)$ и $\int_{E} f \cdot g d m = 0$ для всех $f \in \mathcal{S}$, то $g = 0$.

Приведите измеримое множество $E$, для которого $L^{\infty }(E)$ сепарабельно. Покажите, что $L^{\infty }(E)$ не сепарабельно, если множество $E$ содержит невырожденный интервал.