Аппроксимация и сепарабельность

Пусть $A \subseteq B \subseteq X$. Покажите, что $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда каждый $f \in B$ является пределом последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из $A$.

Пусть $\mathcal{F}$ — плотное подмножество $X$, и предположим, что $\mathcal{S} \subseteq X$ обладает свойством: каждый $f \in \mathcal{F}$ является пределом последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ из $\mathcal{S}$. Покажите, что $\mathcal{S}$ плотно в $X$. В частности, покажите, что если $\mathcal{S}$ счётно, то $X$ сепарабельно.

Покажите, что для $1 \leq p < \infty$, $\ell^{p}$ сепарабельно, а $\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

Покажите, что подпространство простых функций плотно в $L^{\infty }(E)$.

Покажите, что $C[a, b]$ не является плотным подпространством $L^{\infty }[a, b]$.

Пусть $1 \leq p < \infty$, $q$ — сопряжённый показатель к $p$, а $\mathcal{S}$ — плотное подмножество $L^{q}(E)$. Покажите, что если $g \in L^{p}(E)$ и $\int_{E} f \cdot g d m = 0$ для всех $f \in \mathcal{S}$, то $g = 0$.

Приведите измеримое множество $E$, для которого $L^{\infty }(E)$ сепарабельно. Покажите, что $L^{\infty }(E)$ не сепарабельно, если множество $E$ содержит невырожденный интервал.