Полнота $L^{p}$: быстро фундаментальные последовательности и теорема Рисса-Фишера

Докажите, что $L^{\infty }(E)$ полно.

Приведите пример фундаментальной последовательности действительных чисел, которая не является быстро фундаментальной.

Покажите, что нормированное линейное пространство полно тогда и только тогда, когда каждая быстро фундаментальная последовательность сходится.

Для каждого $n$ определим $f_{n}(x) = x^{n}$ для $0 \leq x \leq 1$. Является ли $\left\{ f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ быстро фундаментальной в $C[0,1]$? Для $1 \leq p < \infty$, является ли $\left\{ f_{n}\right\}$ быстро фундаментальной в $L^{p}([0,1])$?

Рассмотрим линейное пространство многочленов, ограниченных на $[a, b]$, нормированное максимум-нормой. Полно ли это пространство?

Пусть $m(E) < \infty$ и $1 \leq p_{1} < p_{2} < \infty$. Рассмотрим линейное пространство $L^{p_{2}}(E)$, нормированное нормой $\left\| \cdot \right\|_{p_{1}}$. Является ли это нормированное линейное пространство полным?

Подпространство $X_{0}$ нормированного линейного пространства $X$ называется замкнутым, если предел сходящейся последовательности из $X_{0}$ также принадлежит $X_{0}$. Предположим, что $X$ полно. Покажите, что подпространство $X_{0}$ пространства $X$ с индуцированной из $X$ нормой полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто.