Нормированные линейные пространства

Если $K \subseteq \mathbb {R}$ компактно, покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\max }$ является нормой на $C(K)$.

Для $f \in C[a, b]$ определим $\left\| f\right\|_{1} = \int_{a}^{b}\left|f\right| d m$. Покажите, что это норма на $C[a, b]$. Также покажите, что существует число $c \geq 0$, для которого

но не существует $c \geq 0$, для которого

Пусть $X$ — линейное пространство всех многочленов с действительными коэффициентами, определённых на $\mathbb {R}$. Для многочлена $p$ определим $\left\| p\right\|$ как сумму абсолютных значений коэффициентов. Является ли это нормой?

Для $f \in L^{1}[a, b]$ определим $\left\| f\right\| = \int_{a}^{b} x^{2}\left|f(x)\right| d x$. Покажите, что это норма на $L^{1}[a, b]$.

Для $f \in L^{\infty }(E)$ покажите, что $\left\| f\right\|_{\infty }$ является наименьшей существенной верхней гранью для $f$, и

Для $0 < p < 1$ определим $L^{p}(E)$ как совокупность измеримых функций $f: E \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, для которых $\int_{E}\left|f\right|^{p} d m < \infty$. Покажите, что $L^{p}(E)$ является линейным пространством.

Покажите, что в нормированном линейном пространстве сходящаяся последовательность ограничена.

Сформулируйте и докажите свойство линейности сходящихся последовательностей в нормированном линейном пространстве.