Некоторые задачи об алгебраических целых числах

Если $\alpha$ — целое, то и $\sqrt{\alpha }$ — целое.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-1}$ — целое, то $r$ и $s$ должны быть целыми рациональными.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-5}$ — целое, то $r$ и $s$ должно быть целыми рациональными.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-3}$ — целое, то $2 r$ и $2 s$ должны быть целыми рациональными и $2 r \equiv 2 s(\bmod 2)$; однако сами $r$ и $s$ могут и не быть целыми.

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\cos \vartheta$ оба рациональны, то $\cos \vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений:

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\cos \vartheta$ оба рациональны, то $\cos \vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений:

Рассмотрим внутренний угол между двумя смежными гранями правильного многогранника и обозначим его через

в зависимости от того, будет ли этот многогранник тетра-, гекса-, окта-, додека- или икосаэдром (гексаэдр — это куб). Показать, что отношения

иррациональны.

Рассмотрим внутренний угол между двумя смежными гранями правильного многогранника и обозначим его через

в зависимости от того, будет ли этот многогранник тетра-, гекса-, окта-, додека- или икосаэдром (гексаэдр — это куб). Показать, что отношения

иррациональны.

Числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно зависимыми, если существуют целые рациональные числа $a_1,a_2,\ldots ,a_m$, не все равные нулю, такие, что $a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_m\alpha_m=0$. Если соотношения такого рода не существует, то $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно независимыми. Таким образом, если $\beta \neq 0$, то числа $\alpha$ и $\beta$ линейно зависимы или независимы в зависимости от того, рационально или иррационально отношение $\alpha /\beta$. Число $\alpha$ является алгебраическим, если существует такое $n$ (целое положительное рациональное число), что $1,\alpha ,\alpha^2,\ldots ,\alpha^n$ линейно зависимы.

Числа (углы) $T,H$ и $O$ линейно зависимы; в самом деле,

(см. 197.2; это может быть доказано и средствами элементарной геометрии). Тем не менее $T$ и $O$ линейно независимы.

Числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно зависимыми, если существуют целые рациональные числа $a_1,a_2,\ldots ,a_m$, не все равные нулю, такие, что $a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_m\alpha_m=0$. Если соотношения такого рода не существует, то $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно независимыми. Таким образом, если $\beta \neq 0$, то числа $\alpha$ и $\beta$ линейно зависимы или независимы в зависимости от того, рационально или иррационально отношение $\alpha /\beta$. Число $\alpha$ является алгебраическим, если существует такое $n$ (целое положительное рациональное число), что $1,\alpha ,\alpha^2,\ldots ,\alpha^n$ линейно зависимы.

Числа (углы) $T,H$ и $O$ линейно зависимы; в самом деле,

(см. 197.2; это может быть доказано и средствами элементарной геометрии). Тем не менее $T$ и $O$ линейно независимы.

(Продолжение.) Показать, что $T,H,D$ и $I$ линейно независимы. Точно так же линейно независимы $H,O,D$ и $I$, а всякое линейное однородное соотношение с рациональными коэффициентами между $T,H,O,D$ и $I$ может отличаться от приведенного в 197.3 лишь тривиально (т. е. лишь числовым множителем).

(Продолжение.) Показать, что $T,H,D$ и $I$ линейно независимы. Точно так же линейно независимы $H,O,D$ и $I$, а всякое линейное однородное соотношение с рациональными коэффициентами между $T,H,O,D$ и $I$ может отличаться от приведенного в 197.3 лишь тривиально (т. е. лишь числовым множителем).

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\tan^2\vartheta$ оба рациональны, то $\tan^2\vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений (причем $\infty =1/0$ считается «рациональным»):

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\tan^2\vartheta$ оба рациональны, то $\tan^2\vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений (причем $\infty =1/0$ считается «рациональным»):

За исключением четырех случаев $n=1,2,4$ и 8, число $\tan 2\pi /n$ иррационально при всех целых положительных рациональных $n$.

За исключением четырех случаев $n=1,2,4$ и 8, число $\tan 2\pi /n$ иррационально при всех целых положительных рациональных $n$.

Существует лишь ограниченное количество целых чисел заданной степени $n$, содержащихся вместе со всеми своими сопряженными в фиксированном круге $\left|z\right|<k$ комплексной числовой плоскости.

Единственным целым числом, содержащимся вместе со всеми своими сопряженными в открытом единичном круге, является нуль.

Пусть все нули полинома с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1 лежат в замкнутом единичном круге. Один из этих нулей должен лежать либо в центре, либо на периферии единичного круга; в последнем случае он является корнем из единицы.

Если целое число $\alpha$ со всеми своими сопряженными вещественно и по модулю меньше 2, то $\alpha =2 \cos \frac{2 \pi p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые рациональные числа.

Иррациональные целые числа

порождают три различных мнимо-квадратичных поля, в которых целые числа имеют соответственно вид

где $a, b$ — целые рациональные числа.

Множество $\mathfrak {M}$ комплексных (в частности, вещественных) чисел называется «дискретной областью целости», если оно обладает следующими двумя свойствами:

1. Если $\zeta^{\prime }$ и $\zeta^{\prime \prime }$ принадлежат множеству $\mathfrak {M}$, то и $\zeta^{\prime }+\zeta^{\prime \prime }, \zeta^{\prime }-\zeta^{\prime \prime }, \zeta^{\prime } \zeta^{\prime \prime }$ принадлежат этому множеству.

2. Точка 0 не является предельной точкой множества $\mathfrak {M}$ (согласно свойству 1) сама точка $0=\zeta^{\prime }-\zeta^{\prime }$ принадлежит множеству $\mathfrak {M}$). Дискретная область целости состоит либо из всех, либо из части целых чисел некоторого мнимого квадратичного числового поля (например, лишь из чисел $0, \pm 6, \pm 12, \pm 18, \ldots$ или даже из одного единственного числа 0).

Если бы мы согласились называть «целыми числами» не любые целые алгебраические числа, а лишь те, которые принадлежат полю, порождаемому числом $\sqrt{-5}$, то числа 3 и $1+2 \sqrt{-5}$ совсем не имели бы в смысле приведенного выше определения наибольшего общего делителя, т. е. в поле, порождаемом числом $\sqrt{-5}$ (и содержащем 3 и $1+2 \sqrt{-5}$), невозможно найти такие пять целых чисел $\alpha , \beta , \gamma , \delta , \vartheta$, которые удовлетворяли бы уравнениям

Квадраты $3^{2}=9$ и $(1+2 \sqrt{-5})^{2}=-19+4 \sqrt{-5}$ обладают наибольшим общим делителем даже при ограничении понятия целого числа, принятом в задаче 204.

Найти (не лежащий в поле, порожденном числом $\sqrt{-5}$) наибольший общий делитель чисел 3 и $1+2 \sqrt{-5}$.

Наибольший общий делитель $\vartheta$ чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$ делится на любой общий делитель этих чисел.

Если $\vartheta$ и $\vartheta^{\prime }$ — два различных наибольших общих делителя чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$, то частное $\frac{\vartheta^{\prime }}{\vartheta }$ является единицей.

Если $\vartheta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$, то $\gamma \vartheta$ является наибольшим общим делителем чисел $\gamma \alpha_{1}, \gamma \alpha_{2}, \ldots , \gamma \alpha_{m}$.

Если $\alpha$ взаимно простое с $\beta \gamma$, то оно взаимно простое как с $\beta$, так и с $\gamma$.

Если $\alpha$ взаимно простое как с $\beta$, так и с $\gamma$, то оно взаимно простое и с $\beta \gamma$.

Если $\alpha$ и $\beta$ — взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\gamma$ будет также наибольшим общим делителем чисел $\alpha$ и $\beta \gamma$.

Если $\delta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\beta$, то $\delta^{n}$ является наибольшим общим делителем $\alpha^{n}$ и $\beta^{n}$ при любом $n=1,2,3, \ldots$

Если $\delta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\beta$, то $\sqrt[n]{\delta }(n=1,2,3, \ldots )$ является наибольшим общим делителем чисел $\sqrt[n]{\alpha }$ и $\sqrt[n]{\beta }$.

Если $m$ чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$ — попарно взаимно простые и $\mu =\alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{m}$, то 1 является наибольшим общим делителем $m$ чисел $\frac{\mu }{\alpha_{1}}, \frac{\mu }{\alpha_{2}}, \ldots , \frac{\mu }{\alpha_{m}}$.

Всякое целое число $\alpha \neq 0$ взаимно просто со всеми рациональными простыми числами, за исключением конечного их числа.

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — нули полинома

где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n-1}, a_{n}$ — целые рациональные числа. Тогда $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ обладают наибольшим общим делителем $\delta$ и притом $\delta =\sqrt[N]{d}$, где $N=n!$ и $d$ — наибольший общий делитель чисел

Если $\alpha$ и $\beta$ принадлежат $K$ и $\alpha$ — делитель $\beta$, то $N(\alpha )$ есть делитель $N(\beta )$.

Пусть поле $K$ обладает тем свойством, что вместе с любыми двумя целыми числами $\alpha$ и $\beta$ оно содержит и их наибольший общий делитель в том смысле, что в $K$ имеются пять целых чисел $\alpha^{\prime }, \beta^{\prime }, \gamma , \delta , \vartheta$, которые удовлетворяют равенствам

(Это имеет место не всегда! См. 204.) Показать, что для этого необходимо и достаточно выполнение следующего требования: если $\alpha$ и $\beta$ — два целых числа поля $K$, не делящихся одно на другое, то в этом поле существуют два таких целых числа $\xi$ и $\eta$, что одновременно

Любые два целых числа поля, порожденного числом $\sqrt{-1}$, обладают наибольшим общим делителем, принадлежащим этому же полю.

Отношение сравнимости между двумя целыми алгебраическими числами по некоторому целому алгебраическому модулю коммутативно и транзитивно, т. е.

Из

следует

Если $\alpha$ и $\mu$ — взаимно простые и $\mu$ не является единицей, то

Пусть $\alpha , \beta , \ldots$ — целые числа, $f(x, y, \ldots )$ — полином с целыми рациональными коэффициентами и $p$ — рациональное простое число. Тогда

Пусть

($\alpha_{k} \neq 0$, $\omega_{k} \neq 0$, $\omega_{k} \neq \omega_{l}$ при $k \neq l$, $k, l=1,2,3, \ldots , m$) — целые числа. Тогда не все числа

могут быть целыми.

Нули полинома деления круга $K_{m}(x)$ [36] являются также нулями полинома $x^{m}-1$, т. е. целыми числами. Они равны $\alpha^{r_{1}}, \alpha^{r_{2}}, \ldots , \alpha^{r_{h}}$, где положено $e^{\frac{2 \pi i}{m}}=\alpha$, $\varphi (m)=h$ и $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{h}$ образуют приведенную систему вычетов по модулю $m$, т. е. $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{h}$ — целые рациональные числа, взаимно простые с $m$ и попарно несравнимые по модулю $m$.

Является ли полином $K_{m}(x)$ приводимым или же неприводимым?

Доказать неприводимость полинома $K_{m}(x)$, не опираясь на теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Эту теорему можно обойти при помощи, правда, более громоздкого, но зато и более элементарного построения приведенной системы вычетов по модулю $m$.

Если целые рациональные числа $m$ и $n$ взаимно просты и $n\geq 3$, то $2\cos (2\pi m/n)$ есть целое алгебраическое число степени $\varphi (n)/2$.

Если целые рациональные числа $m$ и $n$ взаимно просты и $n\geq 3$, то $2\cos (2\pi m/n)$ есть целое алгебраическое число степени $\varphi (n)/2$.

(Продолжение.) Вывести отсюда 197.1 [38.1].

(Продолжение.) Вывести отсюда 197.1 [38.1].

Если разложения рациональной функции как по возрастающим, так и по убывающим степеням оба рационально-численны, то полюсы этой функции, отличные от 0 и $\infty$, являются единицами (в смысле теории алгебраических чисел).

Пусть степенной ряд, расположенный по возрастающим степеням аргумента, сходится в единичном круге и представляет дробную рациональную функцию. Если его коэффициенты являются целыми рациональными числами, то полюсы его равны корням из единицы.

Если ряд

с целыми алгебраическими коэффициентами $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}, \ldots$ представляет рациональную функцию, то полюсы этой функции также будут целыми алгебраическими числами.

Если

— целые алгебраические числа, то коэффициенты в разложении выражения

по степеням $z$ точно так же являются целыми алгебраическими числами. Это, однако, не имеет места для разложения, получаемого отсюда почленным интегрированием.

Пусть функция $f(z)$ представляется рационально-численным степенным рядом и производная ее $f^{\prime }(z)$ — рациональная функция. Показать, что сама $f(z)$ рациональна, если ее степенной ряд удовлетворяет условию Эйзенштейна, и трансцендентна в противном случае.

Пусть алгебраическая функция $f(z)$ определена уравнением

где $P_{0}(z), P_{1}(z), \ldots , P_{l}(z)$ — полиномы с алгебраическими коэффициентами. Если $\alpha$ — алгебраическое число, то коэффициенты в разложении $f(z)$ по степеням $z-\alpha$ будут точно так же алгебраическими числами.

Целая рациональная функция $F(z, y)$ двух переменных $z, y$ с рациональными коэффициентами называется неприводимой, если она не может быть представлена в виде произведения двух целых функций с рациональными коэффициентами, имеющих низшую степень относительно $y$.

Если $F(z, y)$ неприводима, то либо ни одно, либо все решения уравнения

являются рациональными функциями от $z$.

Если степенное разложение алгебраической функции имеет алгебраические коэффициенты, то эти последние все содержатся в некотором конечном поле (т. е. поле, порожденном одним единственным алгебраическим числом, см. стр. 164).

Пусть рассматриваемый степенной ряд будет

Тогда существует такое целое число $\tau$, что все числа $\alpha_{1} \tau , \alpha_{2} \tau^{2}, \alpha_{3} \tau^{3}, \ldots$ являются целыми (обобщение теоремы Эйзенштейна).

Пусть расположенный по убывающим степеням $z$ ряд

сходится вне некоторого круга и принимает целые рациональные значения для бесконечного множества целых рациональных значений $z$. Если все коэффициенты $a_{m}, a_{m-1}, \ldots , a_{1}, a_{0}, a_{-1}, a_{-2}, \ldots$ рациональны, то ряд представляет целую рациональную функцию (обрывается, 188); если коэффициенты все принадлежат одному и тому же конечному полю, то ряд представляет алгебраическую функцию (пример: 189).

Три стороны треугольника имеют длины $l,m$ и $n$ соответственно. Числа $l,m$ и $n$ — целые положительные, удовлетворяющие условию

Найти число различных треугольников такого рода, у которых наибольшая сторона имеет заданную длину $n$. [Подсчитать целые точки.]

Три стороны треугольника имеют длины $l,m$ и $n$ соответственно. Числа $l,m$ и $n$ — целые положительные, удовлетворяющие условию

Найти число различных треугольников такого рода, у которых наибольшая сторона имеет заданную длину $n$. [Подсчитать целые точки.]

Начертив фигуру для нескольких значений переменных, подсчитать во всех случаях число решений уравнения

в целых числах. Интересны случаи

Начертив фигуру для нескольких значений переменных, подсчитать во всех случаях число решений уравнения

в целых числах. Интересны случаи